第11章 極值與近似
11.1 最大最小要比較候選值
局部極大是在定義域某小鄰域內不小於附近值；絕對最大則要與整個指定集合比較。連續函數在閉區間必達最大最小。找候選時，列兩端、內部導數為零的點，以及內部有值但不可微的點；若候選有限，代回原函數比較值。導數為零只給候選，不負責決定是最大還是最小。
11.2 局部線性式與誤差
若 f 在 a 可微，令 L(a+h)=f(a)+f′(a)h。誤差 R(h)=f(a+h)−L(a+h) 滿足 R(h)/h→0，這是把差商減去 f′(a) 後直接得到。這只保證相對於 |h| 的誤差變小，不代表每個步長都已達指定精度。
設 J 是以 a 與 a+h 為端點的閉區間。若 f′ 在包含 J 的開區間可微，且在 J 上有 |f″|≤M，就可估計誤差。h=0 時 R(0)=0。h≠0 時，對 J 內任一 t≠a，在 a 與 t 之間對 f′ 用中值定理，得 |f′(t)−f′(a)|≤M|t−a|。t=a 時同一不等式兩側皆為0。
在 J 上對 f−L 用中值定理，得 R(h)=h[f′(c)−f′(a)]，其中 c 介於 a 與 a+h。由 |c−a|≤|h| 得 |R(h)|≤M|h|²。這是兩次中值定理給出的保守上界。
11.3 四個例題
例題1 極值可能同時在端點與內點取得
在 [−2,2] 取 f(x)=x³−3x。f′=3(x²−1)，內點候選 −1、1，加兩端 −2、2。依序代入 −2、−1、1、2，函數值是 −2、2、−2、2。因此最大值2在 −1 與2 取得，最小值−2在 −2 與1 取得。
例題2 不可微的點不能漏掉
f(x)=|x−1| 在 [0,3] 連續。兩側導數為−1、1，不會為零；x=1 不可微，仍是內點候選。比較 f(0)=1、f(1)=0、f(3)=2，得最小值0在1，最大值2在3。
例題3 根式的線性近似有方向與界
以 a=1 近似 √(1+h)，線性式是1+h/2。令 r=√(1+h)，h≥−1，利用 r−1=h/(r+1) 得：
r−(1+h/2)=−h²/[2(r+1)²]。
所以線性式不小於真值，且在 |h|≤1/2 時誤差大小至多 h²/2。h=0.04 時 √1.04 約為1.02，誤差不超過0.0008；可寫 1.0192≤√1.04≤1.02。
例題4 多項式可直接展開查殘差
x³ 在 a=2 的線性式是8+12h。展開 (2+h)³ 得 8+12h+6h²+h³，故殘差 h²(6+h)。若 |h|≤0.1，誤差大小≤6.1h²≤0.061。取 h=0.1 時真值9.261、線性值9.2，兩者相差0.061，與公式一致。
11.4 練習
- B06-C11-Q01 求 (x−2)² 在 [0,3] 的最大最小值及位置。
- B06-C11-Q02 求 x²+1 在 [−1,2] 的最大最小值及位置。
- B06-C11-Q03 f(x)=x 在 (0,1) 有界，是否取得最大或最小值？
- B06-C11-Q04 x³ 在0的導數為0，0是局部極值點嗎？
- B06-C11-Q05 求 |x| 在 [−2,1] 的絕對最大與最小值。
- B06-C11-Q06 用 ln 在1的線性式近似 ln 1.03，利用 |f″| 給誤差上界。
- B06-C11-Q07 用第9章指數級數的尾界估 e^0.02。寫出線性值與誤差界。
- B06-C11-Q08 對 x²，二階導數法給的誤差上界是什麼？實際殘差是多少？
- B06-C11-Q09 f(x)=2x⁴−x²。先求 f′ 再求 f″，並求 f″(1)。
- B06-C11-Q10 在 c 左側的某鄰域 f′>0，右側 f′<0，且 f 在 c 連續。能推出何種極值？
11.5 完整解答
Q01
f′=2(x−2)，候選0、2、3。函數值4、0、1，所以最大4在0，最小0在2。
Q02
f′=2x，候選 −1、0、2，函數值2、1、5。最小1在0，最大5在2。
Q03
都沒有。任 x∈(0,1)，x/2 更小而 (1+x)/2 更大，仍在論域。0、1 是界而不是取得的值。
Q04
不是。在0附近，負輸入的立方小於0，正輸入的立方大於0；0兩邊都有比它高與低的值。駐點不等於極值點。
Q05
候選 −2、0、1，包含不可微的0。值為2、0、1，所以最大2在−2，最小0在0。
Q06
f(1)=0、f′(1)=1，線性值0.03。在 [1,1.03]，|f″(x)|=1/x²≤1，故 |R|≤1·(0.03)²=0.0009。
Q07
E(0)=1、E′(0)=1，所以線性值1.02。|h|=0.02≤1/2，第9章的級數尾界給 |R|≤2(0.02)²=0.0008。
Q08
f″=2，保守上界2h²。實際展開 (a+h)²−(a²+2ah)=h²，說明上界可用但不必等於真誤差。
Q09
f′=8x³−2x；再微分得 f″=24x²−2，所以 f″(1)=22。二階導數是對 f′ 再取導數，不是把 f′ 平方。
Q10
任取左側近點 x<c，在 [x,c] 用中值定理，得 f(c)>f(x)；右側近點 y>c 在 [c,y] 得 f(y)<f(c)。所以 c 是嚴格局部極大點。未比較更遠處，不能宣稱絕對最大。