第8章 二重與三重積分
8.1 先畫區域，再決定積分次序
在平面區域 D 上，二重積分把小塊的 f 值乘面積再相加。f≥0 時可解讀成曲面下的體積；f 有正有負時是有向累積，不一定等於幾何體積。若 f 是面密度，f·dA 的單位是質量。三重積分同理用體積小塊 dV；體密度乘體積才是質量。
本章取 f 在有界區域 D 的閉包上連續，並將 D 按所選方向寫成一個或有限個分片光滑的簡單區域。若某片在 α≤x≤β 時的切片為 a(x)≤y≤b(x)，則先按這兩個端點對 y 積，再從 α 到 β 對 x 積。改成先 x 後 y 時，外層和內層範圍都要從固定 y 的切片重新求得；若有多段，就按區域分開相加。三重積分也逐層核對端點。本章處理正規的有限積分，無界區域或奇異被積式須另查收斂及可交換條件。
8.2 四個例題
例題1 先沿 y，再沿 x
在矩形 0≤x≤2、0≤y≤1 積 f=x+2y。固定 x，內積分是 xy+y² 在 0 到 1 的差 x+1。外積分是 x²/2+x 在 0 到 2 的差 4。若高度以公尺計、平面以平方公尺計，此值代表 4 立方公尺。
例題2 三角形的內層上限不是常數
D 由 x≥0、y≥0、x+y≤1 定義。固定 x∈[0,1]，y∈[0,1−x]。對 x+y 先積 y 得 x(1−x)+(1−x)²/2=(1−x²)/2，再積 x 得 1/3。換序時固定 y∈[0,1]、x∈[0,1−y]，結果同值。
例題3 用三層切片算四面體體積
在 x,y,z≥0 且 x+y+z≤1 上積 1。固定 x,y，z 的長度是 1−x−y。對 y 從 0 到 1−x 積得 (1−x)²/2；最後 x 從 0 到 1 得 1/6。這裡內層 z 上限依賴兩個外層變數。
例題4 體密度不是體積
長方體 0≤x≤2、0≤y≤1、0≤z≤3（座標數值以公尺計），體密度數值 ρ=1+x，單位 kg/m³。先對 z、y 積給 3(1+x)，再積 x 得 12 kg；長方體體積是 6 m³，不能以 6 代替質量。
8.3 練習
- B09-C08-Q01 在 0≤x≤3、0≤y≤2 積 1。
- B09-C08-Q02 在單位正方形積 xy。
- B09-C08-Q03 寫出 0≤x≤2、0≤y≤x 換成先 x 後 y 的範圍。
- B09-C08-Q04 在上一題三角形積 1，用先 x 後 y。
- B09-C08-Q05 在 0≤x≤1、x²≤y≤x 積 1。
- B09-C08-Q06 對上一題區域寫水平切片的 x 範圍。
- B09-C08-Q07 在 −1≤x≤1、0≤y≤2 積 x。
- B09-C08-Q08 在單位立方體積 f=z。
- B09-C08-Q09 常數體密度 2 kg/m³，區域體積 3 m³，質量多少？
- B09-C08-Q10 為何內層 y 積分的上界不能再含 y？
8.4 完整解答
Q01
內層對 y 積為 2，外層乘 x 長度 3 得 6，即矩形面積。
Q02
固定 x 時積 y 得 x/2，再從 x=0 到 1 積得 1/4。
Q03
y 最低 0、最高 2；固定 y 時 x 至少 y、至多 2。因此外層 y∈[0,2]，內層 x∈[y,2]。
Q04
內層長度 2−y，對 y 從 0 到 2 積，得 4−2=2。也等於底 2、高 2 的三角形面積。
Q05
每條垂直切片長 x−x²，積得 1/2−1/3=1/6。不能把上界 x 或下界 x² 直接換成常數。
Q06
外層 0≤y≤1。由 y≤x 得 x≥y；由 x²≤y 且 x≥0 得 x≤√y。因此內層從 y 到 √y。
Q07
內層 y 給 2x，外層 2x 在對稱區間的正負部分抵消，積分為 0；這不代表兩邊幾何體積都為 0。
Q08
z 從 0 到 1 的積分為 1/2，其餘兩邊長度 1，所以結果 1/2。
Q09
積分就是密度乘體積，2·3=6 kg。單位 m³ 與分母消去。
Q10
固定外層變數後，內層是在一個已定的 y 區間累積；上下限是切片端點，可依外層變數而變，但不能在當下積分過程仍把自由 y 當成自己的端點。