概念導讀
實數：在 Cauchy 完備化中證明「循環的 9」與有理數 1 是同一個實數
在以有理數 Cauchy 序列的等價類建構的實數中（有理數 q 嵌入為常數列的類 ι(q)），令 a_n=1−10^{−n}（n≥1），即有限小數 0.9、0.99、0.999 等。證明 (a_n) 是 Cauchy 序列，且與常數列 1 等價，所以 [(a_n)]=ι(1)；證明 ι 是單射，因此有限小數 0.999=999/1000 所表示的實數不等於 1；並說明有限小數 0.375=3/8 是有理數，在 ℝ 中就是 ι(3/8)。