自然數
用於計數與離散次序的基本數系。
atlas-natural-number · canonical_mko
數學地圖
整數
由自然數擴張得到，可表示正、負與零的數系。
atlas-integer · canonical_mko
前置節點
有理數
可表示為兩個整數之比的數。
atlas-rational-number · canonical_mko
前置節點
實數
包含有理數與無理數，支撐連續量與實分析。
atlas-real-number · canonical_mko
前置節點
四則運算
加、減、乘、除及其基本規則。
atlas-arithmetic-operations · canonical_mko
前置節點
分數
分數 p/q 是有理數的一種表示；分子與分母為整數，分母必須非零。
atlas-fraction · canonical_mko
前置節點
比與比例
本條目把數值比 a:b 解讀為 a/b，把比例定義為兩個合法比值相等。
atlas-ratio-proportion · canonical_mko
前置節點
自然數冪與主平方根
本輪限定實數底數的自然數冪，以及非負實數的主平方根，分開冪運算、根值與解集。
atlas-power-root · canonical_mko
前置節點
絕對值
實數到零的非負距離，依正負號分段取 x 或 -x。
atlas-absolute-value · canonical_mko
前置節點
實數大小與順序
在實數論域比較大小；精確有理數交叉乘積、有限極值及含端點區間是本輪切片。
atlas-order-relation · canonical_mko
前置節點
集合
把對象視為一個整體的基本數學結構。
atlas-set · canonical_mko
前置節點
集合隸屬
描述元素是否屬於某個集合。
atlas-set-membership · canonical_mko
前置節點
子集合
描述一個集合的每個元素都屬於另一集合。
atlas-subset · canonical_mko
前置節點
集合運算
聯集、交集、差集與相對補集等集合操作。
atlas-set-operations · canonical_mko
前置節點
命題
具有真值的數學陳述。
atlas-proposition · canonical_mko
前置節點
邏輯連接詞
否定、且、或、蘊涵與等價等命題組合方式。
atlas-logical-connectives · canonical_mko
前置節點
量詞與明示論域
全稱與存在量詞必須綁定論域；古典真值語義下，空論域的全稱為真、存在為假。
atlas-quantifier · canonical_mko
前置節點
數學證明
由明示前提與合法推理建立結論的過程。
atlas-proof · canonical_mko
前置節點
反例與論域資格
反例必須屬於被聲稱的論域且使全稱述詞失敗；域外值和找不到反例都不能自動證明原命題。
atlas-counterexample · canonical_mko
前置節點
二元關係與集合投影
二元關係是指定 A×B 中有序對的集合，不要求每個輸入唯一或必有輸出。
atlas-relation · canonical_mko
前置節點
變數與代數式
以符號表示未知量與運算結構。
atlas-variable-expression · canonical_mko
前置節點
方程式
要求兩個代數表達式相等的條件。
atlas-equation · canonical_mko
前置節點
一元一次方程式
在明示數系中，具有一個未知數與非零一次係數的方程式。
atlas-linear-equation · canonical_mko
前置節點
一元實二次方程式
對非零二次係數的實方程，用判別式區分實根數，將方程式、根集合與重根分開。
atlas-quadratic-equation · canonical_mko
前置節點
一元有理係數多項式
把多項式視為有限支撐的有理係數資料；合併同次項後再讀取係數與次數。
atlas-polynomial · canonical_mko
前置節點
有理係數多項式因式分解
因式分解是在指定係數域中把多項式寫成因子乘積；驗收比較全部係數而不是若干代入值。
atlas-factorization · canonical_mko
前置節點
二元聯立一次方程組與退化邊界
同時滿足兩個實數線性限制才是解；非零行列式給唯一解，奇異與零列須另判一致性。
atlas-system-linear-equations · canonical_mko
前置節點
固定基底下的平面向量
本輪把平面向量限制為固定基底下的 R² 有序對，逐分量定義加法與純量乘法。
atlas-vector · canonical_mko
前置節點
有限矩陣的尺寸、索引與轉置
矩陣以行、列組織元素；本輪使用非空有限實矩陣及精確整數陣列切片。
atlas-matrix · canonical_mko
前置節點
矩陣表示的實平面線性映射
先在 R²→R² 的矩陣切片驗證加法與純量相容，不把帶非零平移的仿射式叫線性映射。
atlas-linear-transformation · canonical_mko
前置節點
實二階方陣的行列式
2×2實矩陣的 ad−bc、非零行列式可逆性、乘積與純量縮放切片。
atlas-determinant · canonical_mko
前置節點
實二階方陣的特徵值與非零特徵向量
特徵向量須非零；候選特徵空間核含零向量，實二階矩陣可沒有實特徵值。
atlas-eigenvalue · canonical_mko
前置節點
點、直線與平面
歐幾里得幾何中的基本位置與延伸對象。
atlas-point-line-plane · canonical_mko
前置節點
角
兩條射線或方向之間的轉動關係。
atlas-angle · canonical_mko
前置節點
歐幾里得長度
平面或空間中兩點之間的距離量。
atlas-euclidean-length · canonical_mko
前置節點
三角形
由三個不共線點及其連線形成的基本多邊形。
atlas-triangle · canonical_mko
前置節點
直角三角形
具有一個直角的三角形。
atlas-right-triangle · canonical_mko
前置節點
明示對應的非退化三角形全等
限定正交等單位平面中的標記非退化三角形，以三組對應邊長判全等，允許鏡射。
atlas-congruence · canonical_mko
前置節點
正倍率的標記三角形相似切片
指定由A到B的正長度倍率 k，平方長度與指定面積以 k² 縮放，不把負座標係數當負長度倍率。
atlas-similarity · canonical_mko
前置節點
座標平面
固定原點、互相垂直的有向實數軸與单位後，平面點用有序實數對 (x,y) 表示。
atlas-coordinate-plane · canonical_mko
前置節點
等單位正交座標的歐氏距離
在同一等尺度正交座標系，用非負主平方根讀取二維歐氏距離。
atlas-distance-formula · canonical_mko
前置節點
畢達哥拉斯定理
直角三角形兩股平方和等於斜邊平方。
atlas-pythagorean-theorem · canonical_mko
前置節點
圓的邊界與座標判定
圓是到固定中心距離恰等於半徑的點集，不是含內部的圓盤。
atlas-circle · canonical_mko
前置節點
平面座標的基本等距與均勻縮放
平移、原點逆時針四分之一圈的整數倍旋轉、指定軸鏡射是全平面等距；均勻縮放先分清零、±1與其他係數。
atlas-geometric-transformations · canonical_mko
前置節點
函數映射
把定義域中每個輸入指定到唯一輸出的映射。
atlas-function-mapping · canonical_mko
前置節點
定義域、陪域與值域
總函數 f:A→B 的定義域是 A，陪域是 B，值域是實際取得的輸出集合 f[A]。
atlas-domain-codomain-range · canonical_mko
前置節點
實值函數圖形
固定直角座標系後，實值函數的圖形是全部合法輸入與其唯一輸出組成的有序對集合。
atlas-function-graph · canonical_mko
前置節點
仿射函數與一次函數
實函數 f(x)=mx+b 稱仿射函數；m≠0 時為一次函數，m=0 時為常數函數。
atlas-linear-function · canonical_mko
前置節點
頂點式二次函數
實數全論域的 q(x)=a(x−h)²+k、a≠0；頂點、全域極值與對稱點的明示切片。
atlas-quadratic-function · canonical_mko
前置節點
單射與不同輸入的辨識
單射要求不同合法輸入不能有同一輸出，不要求覆蓋整個陪域。
atlas-injective · canonical_mko
前置節點
滿射與陪域覆蓋
滿射要求陪域每個元素都有合法原像；相同輸出可以有多個原像。
atlas-surjective · canonical_mko
前置節點
雙射與唯一原像
雙射同時單射與滿射，等價於陪域每個元素恰有一個合法原像。
atlas-bijective · canonical_mko
前置節點
函數合成
合成 g∘f 先求 f 的輸出，再把它送入 g；合成前須確認中間值可作為 g 的輸入。
atlas-composition · canonical_mko
前置節點
雙射的反函數
雙射 f:A→B 的反函數 g:B→A 須驗證兩個方向的還原，不能把交換資料當成無條件反函數。
atlas-inverse-function · canonical_mko
前置節點
數列
本條目採從 0 起始的實數數列 a:N→R；數列項依索引排列，不能任意重排成集合。
atlas-sequence · canonical_mko
前置節點
趨近關係
描述變數、數列或函數朝目標狀態接近的核心關係。
atlas-tends-to-relation · canonical_mko
前置節點
數列極限與精確尾界
從0起算的實數列以任意精度、某一自然尾界及整個尾段定義極限；本輪精確處理倒數尾項模型。
atlas-sequence-limit · canonical_mko
前置節點
去心實數論域的函數極限
在a附近排除a本身，以ε-δ控制函數值；點值不屬於去心極限條件。
atlas-function-limit · canonical_mko
前置節點
實函數的點值與連續
在全實數論域連續需要點值存在且與兩側極限一致；補點與原函數連續不可混用。
atlas-continuity · canonical_mko
前置節點
兩點間的平均變化率
平均變化率是輸出差除以非零輸入差，不是瞬時導數。
atlas-rate-of-change · canonical_mko
前置節點
實函數在一點的導數與差商
導數是非零步差商的兩側極限，不是任何一個有限步差商；絕對值尖點另保留不存在。
atlas-derivative · canonical_mko
前置節點
多項式的和、乘積與合成微分
四條微分規則先保留可微前提；本輪只在有限整數係數多項式上精確計算。
atlas-derivative-rules · canonical_mko
前置節點
多項式原函數與常數選擇
原函數須在宣告區間導回f；本輪全R多項式以常數項固定0的有理係數原函數作可重播代表。
atlas-antiderivative · canonical_mko
前置節點
座標矩形與單位格的面積
先精確處理半開矩形及有限單位格聯集，含重疊、觸邊與空矩形；不冒充一般面積理論。
atlas-area · canonical_mko
前置節點
有限區間上的多項式定積分
連續多項式的有向定積分與精確矩公式；有限左端黎曼和只是有限和，不冒充一般積分或微積分基本定理完成。
atlas-definite-integral · canonical_mko
前置節點
微積分基本定理：連續前提與有向端點
在全實數連續前提下，累積定積分的導數還原被積函數；合法原函數給有向積分端點差。
atlas-fundamental-theorem-calculus · canonical_mko
前置節點
樣本空間
隨機試驗所有可能結果的集合。
atlas-sample-space · canonical_mko
前置節點
事件
樣本空間中的結果集合。
atlas-event · canonical_mko
前置節點
有限樣本空間上的機率
在非空有限樣本空間上指定非負且總和為一的權重，事件機率為其成員權重之和。
atlas-probability · canonical_mko
前置節點
有限模型的條件機率
條件事件必須有正機率；有限模型中 P(A|B)=P(A∩B)/P(B)，方向不能任意交換。
atlas-conditional-probability · canonical_mko
前置節點
有限樣本空間的實值隨機變數
有限模型中的隨機變數是基本結果到實數的總函數；它不是基本結果，也不是權重本身。
atlas-random-variable · canonical_mko
前置節點
有限模型的期望值
有限期望是合法機率權重與隨機變數值的加權總和，線性性不要求獨立。
atlas-expectation · canonical_mko
前置節點
有限機率模型的變異數
本輪變異數為 E[(X−E[X])²]，不是 n−1 分母的樣本變異數；零權重離群值不影響它。
atlas-variance · canonical_mko
前置節點
有限觀測列的描述統計
保留重數的非空觀測列，精確計算均值、中位數、全距與所有最大頻率值。
atlas-descriptive-statistics · canonical_mko
前置節點
基本計數原理
以加法與乘法原理計算有限選擇數量。
atlas-counting-principle · canonical_mko
前置節點
階乘
自然數到前 n 個正整數乘積的函數。
atlas-factorial · canonical_mko
前置節點
排列與組合
由 n 個相異物件不重複取 k 個，有序選取是排列，無序選取是組合。
atlas-permutation-combination · canonical_mko
前置節點
有限簡單無向圖
本輪限定有限簡單無向圖，邊是兩個相異頂點的無序集合，度數只計相鄰頂點。
atlas-graph · canonical_mko
前置節點
非空有限樹：連通、無環與唯一道路
非空有限簡單無向圖同時連通且無環才是樹；保留單點、度1葉及加一條新邊的唯一環。
atlas-tree · canonical_mko
前置節點
數學歸納法
以基礎情況與歸納步驟證明自然數族命題。
atlas-mathematical-induction · canonical_mko
前置節點
拓撲空間
拓撲空間由底集合與一族開集組成；開集族包含空集與全空間，並對任意聯集與有限交封閉。
atlas-topological-space · canonical_mko
前置節點
開集與閉集
在固定拓撲空間中，開集屬於拓撲；閉集的補集為開集，同一集合可以同時開且閉。
atlas-open-closed-set · canonical_mko
前置節點
鄰域
集合 N 是點 x 的鄰域，當且僅當 N 包含某個含 x 的開集；N 本身不必開。
atlas-neighborhood · canonical_mko
前置節點
拓撲連續映射
拓撲映射連續，表示目標空間每個開集的逆像在來源空間仍是開集。
atlas-topological-continuity · canonical_mko
前置節點
自然數整除
自然數 a 整除 b，表示存在自然數乘數 k 使 b=a·k；零的兩側行為必須分開。
atlas-natural-divisibility · canonical_mko
前置節點
最大公因數與互質
gcd(a,b) 是同時整除 a、b 且被每個公因數整除的自然數；gcd=1 時稱互質。
atlas-gcd-coprime · canonical_mko
前置節點
自然數質數
自然數質數是大於或等於 2，且正因數只有 1 與自身的自然數。
atlas-prime-number · canonical_mko
前置節點
自然數模同餘
固定正模數 n 時，a 與 b 模 n 同餘表示兩者除以 n 的餘數相同。
atlas-modular-congruence · canonical_mko
前置節點
決定問題
決定問題由輸入集合 X 與 yes-instance 子集合 Y⊆X 指定；decider 必須對每個合法輸入終止並回傳正確布林答案。
atlas-decision-problem · canonical_mko
前置節點
抽象計算模型
有限狀態計算模型以狀態集、初始狀態集、步驟關係與停止狀態集描述可能執行。
atlas-computational-model · canonical_mko
前置節點
算法正確性
算法正確性分開部分正確性與終止性；總正確性需要兩者同時成立。
atlas-algorithm-correctness · canonical_mko
前置節點
漸近資源界
漸近上界、下界與緊界必須相對輸入大小、成本模型及全尾段量化定義。
atlas-asymptotic-resource-bound · canonical_mko
前置節點
證明助理中的形式陳述
形式陳述是在固定版本、imports、環境與 local context 中成功 elaboration，且型別為 Prop 的核心項。
atlas-formal-statement · canonical_mko
前置節點
證明項
證明項是在固定形式環境與 context 中具有命題 P 型別，並可由 kernel 檢查的項 t。
atlas-proof-term · canonical_mko
前置節點
離散時間動力系統
離散時間動力系統以狀態空間、自映射與自然數時間描述逐步演化；有限軌道核對不自動給出一般穩定性。
atlas-discrete-dynamical-system · canonical_mko
前置節點
軌道、固定點與週期點
反覆迭代自映射形成軌道；固定點週期為1，週期點的最小正週期須和任意返回時間分開。
atlas-orbit-fixed-periodic · canonical_mko
前置節點
常微分方程
常微分方程關聯未知單變數函數及其有限階導數；候選函數的殘差核對不等於存在唯一性定理。
atlas-ordinary-differential-equation · canonical_mko
前置節點
初值問題
初值問題在微分方程外指定某點的函數值或導數值；候選核對與存在唯一性是不同責任。
atlas-initial-value-problem · canonical_mko
前置節點
數值近似與誤差
絕對誤差是近似值與參照值之差的絕對值；相對誤差另要求參照值非零並除以其絕對值。
atlas-numerical-approximation-error · canonical_mko
前置節點
二分法的有限 bracket 更新
二分法在已提供的端點與中點符號資料上取中點並保留符號相反或零值的半區，有限步寬度減半。
atlas-bisection-method · canonical_mko
前置節點
最佳化問題
最佳化問題在明示可行集合上尋找使目標函數最小或最大的點；最優值與最優解集合需分開。
atlas-optimization-problem · canonical_mko
前置節點
線性規劃
線性規劃在線性等式或不等式限制的可行域上最佳化線性目標函數；本輪題庫只驗完整有限候選網格。
atlas-linear-programming · canonical_mko
前置節點
量綱分析
量綱分析用基本量綱指數向量追蹤乘、除與冪，並核對方程兩側量綱是否一致。
atlas-dimensional-analysis · canonical_mko
前置節點
線性簡諧振子模型
無阻尼線性簡諧振子以m x''+k x=0及m,k>0定義；本輪不宣稱三角函數閉式解。
atlas-harmonic-oscillator-model · canonical_mko
前置節點
離散指數成長模型
固定時間步與固定非負因子 r 的離散模型滿足 x_(n+1)=r x_n，因此 x_n=x_0 r^n。
atlas-discrete-exponential-growth · canonical_mko
前置節點
離散 logistic 增量模型
固定容量K與0≤r≤1時，本條目以x_(n+1)=x_n+r x_n(1-x_n/K)描述每步受限增量。
atlas-discrete-logistic-growth · canonical_mko
前置節點
複利模型
固定每期利率 i 且無額外現金流時，餘額滿足 B_(n+1)=(1+i)B_n，故 B_n=B_0(1+i)^n。
atlas-compound-interest · canonical_mko
前置節點
現值與折現
固定正累積因子與期數時，未來金額除以累積因子冪得到現值。
atlas-present-value-discounting · canonical_mko
前置節點
數學表徵
數學表徵把同一對象的文字規則、符號式、有限表格、序對與座標資料分開記錄，並以明示語義橋核對一致性。
atlas-mathematical-representation · canonical_mko
前置節點
診斷性數學評量記錄
診斷性數學評量記錄把題目、期望、作答與明示判定規則綁在一起，只產生可追溯的規則符合狀態。
atlas-diagnostic-mathematical-assessment · canonical_mko
前置節點
複數
複數以實數有序對(a,b)表示a+bi，並以i²=-1定義加減乘法。
atlas-complex-number · canonical_mko
前置節點
複數模與共軛
複數共軛保留實部並反轉虛部；模平方為實部與虛部平方和。
atlas-complex-modulus-conjugate · canonical_mko
前置節點
實向量空間
實向量空間配備向量加法與實數純量乘法，滿足加法交換群及相容的純量作用公理。
atlas-real-vector-space · canonical_mko
前置節點
線性組合與生成
線性組合是有限個向量的純量加權和；生成空間收集全部有限線性組合。
atlas-linear-combination-span · canonical_mko
前置節點
線性獨立與基底
線性獨立排除非平凡零和關係；基底同時線性獨立並生成已宣告空間。
atlas-linear-independence-basis · canonical_mko
前置節點
有限群
有限群由有限集合與完整封閉Cayley表構成，並滿足結合律、唯一單位元及每元素逆元。
atlas-finite-group · canonical_mko
前置節點
子群與群同態
子群在繼承運算下自身成群；群同態保持乘法，kernel與image由完整映射表導出。
atlas-subgroup-homomorphism · canonical_mko
前置節點
度量空間
度量空間由集合與距離函數組成，距離非負、只在相同點為零、對稱且滿足三角不等式。
atlas-metric-space · canonical_mko
前置節點
度量空間中的收斂
度量空間序列收斂到x，表示每個正epsilon終有所有n≥N落入x的epsilon球。
atlas-metric-convergence · canonical_mko
前置節點
σ-代數與測度空間
σ-代數含空集並對補集與可數聯集封閉；測度非負、空集為零且可數可加。
atlas-sigma-algebra-measure-space · canonical_mko
前置節點
可測函數
來源與目標各固定sigma代數時，函數可測表示每個目標可測集的逆像皆在來源sigma代數。
atlas-measurable-function · canonical_mko
前置節點
有限離散機率分布
有限離散分布是在有限結果值上指定非負機率質量，全部質量精確和為一。
atlas-finite-discrete-probability-distribution · canonical_mko
前置節點
離散隨機過程
離散隨機過程是共同機率空間上的離散時間隨機變數族；邊際分布不決定聯合律。
atlas-discrete-stochastic-process · canonical_mko
前置節點
有限狀態 Markov 鏈
有限時間齊次Markov鏈以row-stochastic轉移核與需要時的初始律指定有限路徑機率。
atlas-finite-markov-chain · canonical_mko
前置節點
多變數實函數
多變數實函數把明示實向量域中的輸入映到實數；座標角色與定義域是函數資料。
atlas-multivariable-real-function · canonical_mko
前置節點
偏導數
偏導數固定其他座標，只沿一個座標切片取h趨近零的單變數導數。
atlas-partial-derivative · canonical_mko
前置節點
偏微分方程
偏微分方程關聯多變數未知函數與一個或多個偏導數；殘差與主部分類需固定算子convention。
atlas-partial-differential-equation · canonical_mko
前置節點
邊界值問題
邊界值問題把定義域內的微分方程責任與邊界上的值或導數資料同時指定；候選通過不等於適定性。
atlas-boundary-value-problem · canonical_mko
前置節點
有限凸組合
有限凸組合用非負精確權重加權有限非空向量列，且權重總和恰為一。
atlas-finite-convex-combination · canonical_mko
前置節點
凸集合
集合凸表示任兩點及每個lambda∈[0,1]形成的整條線段仍在集合內。
atlas-convex-set · canonical_mko
前置節點
凸函數
凸域上的函數為凸，若每個兩點凸組合處的函數值不超過相同權重的端點函數值。
atlas-convex-function · canonical_mko
前置節點
凸最佳化問題
凸最佳化問題在凸可行域上最小化凸目標；問題資格、可行性、求值與全域最優是不同責任。
atlas-convex-optimization-problem · canonical_mko
前置節點
有限阿貝爾群
有限群若完整Cayley表對所有元素對都滿足交換律，則為有限阿貝爾群。
atlas-finite-abelian-group · canonical_mko
前置節點
有限含一環
有限含一環在同一完整有限載體上具加法阿貝爾群、乘法結合律、左右分配律及與零不同的乘法單位元。
atlas-finite-unital-ring · canonical_mko
前置節點
有限交換環
有限含一環若乘法對全部元素對交換，則為有限交換環；零因子仍可能存在。
atlas-finite-commutative-ring · canonical_mko
前置節點
有限整環
有限交換含一環若1不等於0且沒有非零零因子，則為有限整環。
atlas-finite-integral-domain · canonical_mko
前置節點
有限域
有限交換含一環中每個非零元素皆有乘法逆元時構成有限域。
atlas-finite-field · canonical_mko
前置節點
有限雙邊理想
有限環子集若為加法子群且吸收父環的左右乘法，則為雙邊理想。
atlas-finite-two-sided-ideal · canonical_mko
前置節點
有限環的商環
有限環依proper雙邊理想的加法cosets形成商環，運算須與代表元選擇無關。
atlas-finite-quotient-ring · canonical_mko
前置節點
有限交換環上的多項式環
係數取自有限交換環的普通多項式以有限支撐係數序列表示，但所有任意有限次多項式合成的載體仍是無限。
atlas-polynomial-ring-over-finite-commutative-ring · canonical_mko
前置節點
實賦範向量空間
實向量空間配備正定、絕對齊次且滿足三角不等式的實值範數。
atlas-real-normed-vector-space · canonical_mko
前置節點
範數誘導度量
同一實賦範向量空間上的範數以向量差的範數定義度量，度量公理由範數公理全稱推出。
atlas-norm-induced-metric · canonical_mko
前置節點
Cauchy序列
度量空間序列為Cauchy，若每個正epsilon最終所有兩項彼此距離皆小於epsilon。
atlas-cauchy-sequence · canonical_mko
前置節點
完備度量空間
每個Cauchy序列都收斂到空間內某點的度量空間稱為完備。
atlas-complete-metric-space · canonical_mko
前置節點
實Banach空間
在自身範數誘導度量下完備的實賦範向量空間稱為實Banach空間。
atlas-real-banach-space · canonical_mko
前置節點
實雙線性形式
實向量空間上的雙線性形式分別對兩個輸入保持向量加法與實純量乘法。
atlas-real-bilinear-form · canonical_mko
前置節點
實內積空間
對稱且正定的實雙線性形式構成實內積；半正定或抽樣為正不足。
atlas-real-inner-product-space · canonical_mko
前置節點
內積誘導範數
同一實內積以向量自內積的非負平方根定義範數；三角不等式依Cauchy–Schwarz全稱證書。
atlas-inner-product-induced-norm · canonical_mko
前置節點
實Hilbert空間
在同一內積誘導範數與度量下完備的實內積空間為實Hilbert空間。
atlas-real-hilbert-space · canonical_mko
前置節點
實向量空間間線性映射
一般實向量空間間映射若對所有向量與實純量保持線性組合，則為線性映射。
atlas-general-linear-map · canonical_mko
前置節點
有界線性算子
賦範空間間線性映射若有單一非負常數統一控制所有輸出範數，則為有界線性算子。
atlas-bounded-linear-operator · canonical_mko
前置節點
事件獨立
兩事件獨立以交集機率等於邊際機率乘積定義；此定義不依賴零機率條件式。
atlas-event-independence · canonical_mko
前置節點
有限聯合分布
共同有限機率空間上多個隨機變數的值組與精確質量共同指定有限聯合分布。
atlas-finite-joint-distribution · canonical_mko
前置節點
隨機變數獨立
同一有限joint law下，隨機變數獨立要求全部值對的joint mass分解為邊際質量乘積。
atlas-random-variable-independence · canonical_mko
前置節點
協方差
同一有限聯合分布下協方差為E[XY]-E[X]E[Y]；零協方差通常不推出獨立。
atlas-covariance · canonical_mko
前置節點
有限條件期望
有限機率空間中，相對分割生成sigma代數的條件期望在每個正質量區塊取加權平均並保持區塊積分。
atlas-conditional-expectation · canonical_mko
前置節點
有限filtration
有限時間filtration是在同一機率空間上隨時間資訊遞增的sigma代數序列。
atlas-finite-filtration · canonical_mko
前置節點
有限Martingale
相對同一filtration適應且可積的有限過程，若每一步下一值條件期望等於現在值a.s.，則為Martingale。
atlas-martingale · canonical_mko
前置節點
依機率收斂
X_n依機率收斂到X，若對每個epsilon>0，偏差超過epsilon的機率趨近0。
atlas-convergence-in-probability · canonical_mko
前置節點
累積分布函數
實值隨機變數的CDF以F(t)=P(X小於等於t)定義，為單調右連續且有限離散跳躍等於點質量。
atlas-cumulative-distribution-function · canonical_mko
前置節點
依分布收斂
極限CDF每個連續點上F_n逐點收斂到F時，稱依分布收斂。
atlas-convergence-in-distribution · canonical_mko
前置節點
獨立同分布序列
IID序列同時要求每個變數有相同分布，且每個有限子族滿足mutual independence。
atlas-iid-sequence · canonical_mko
前置節點
圖同構
有限簡單圖同構是頂點雙射，對所有頂點對完整保持鄰接與非鄰接。
atlas-graph-isomorphism · canonical_mko
前置節點
圖walk與simple path
有限無向簡單圖的walk要求每對連續頂點相鄰；simple path另要求所有頂點互異。
atlas-graph-walk-simple-path · canonical_mko
前置節點
連通分量
有限無向簡單圖中，由存在路徑所定義的頂點等價類恰為連通分量。
atlas-connected-component · canonical_mko
前置節點
二分圖
有限無向簡單圖若全體頂點可分為兩個互斥部分且每條邊跨部，則為二分圖。
atlas-bipartite-graph · canonical_mko
前置節點
圖著色
proper k-coloring使用至多k種顏色並使每條邊兩端顏色不同。
atlas-graph-coloring · canonical_mko
前置節點
等價關係
固定載體上的關係若完整滿足反身、對稱與傳遞，則為等價關係。
atlas-equivalence-relation · canonical_mko
前置節點
等價類
固定完整等價關係下，元素a的等價類收集全部與a相關的載體元素。
atlas-equivalence-class · canonical_mko
前置節點
商集
完整等價關係的全部互異等價類組成商集，並分割原載體。
atlas-quotient-set · canonical_mko
前置節點
集合基數比較
明示source與target間的單射、滿射、雙射分別提供有限集合基數比較證書。
atlas-cardinality-comparison · canonical_mko
前置節點
至多可數集
集合若有限或存在到自然數的明示單射，則為至多可數；不等同可數無限。
atlas-at-most-countable-set · canonical_mko
前置節點
實向量子空間
實向量空間的非空子集若含零向量並對向量加法與每個實純量乘法封閉，則為向量子空間。
atlas-vector-subspace · canonical_mko
前置節點
線性映射的核
線性映射T的核是全部滿足T(x)=0的來源向量，並形成來源子空間。
atlas-linear-map-kernel · canonical_mko
前置節點
線性映射的像
線性映射的像是所有輸出T(x)的集合；矩陣映射的像等於column span。
atlas-linear-map-image · canonical_mko
前置節點
有限維向量空間的維度
有限維向量空間的維度是任一有限基底的元素數；基底不同但基數不變。
atlas-vector-space-dimension · canonical_mko
前置節點
矩陣秩
矩陣秩是row/column space維度，可由精確rank-preserving消去的pivot數計算。
atlas-matrix-rank · canonical_mko
前置節點
秩－零度定理
有限維線性映射T:V→W滿足dim V=dim ker T+rank T。
atlas-rank-nullity-theorem · canonical_mko
前置節點
子空間直和
二個子空間之和若每個向量有唯一分解便是內直和；要宣稱覆蓋母空間還須另證生成。
atlas-direct-sum · canonical_mko
前置節點
商向量空間
V依子空間W的cosets形成商向量空間，運算須與代表元選擇無關。
atlas-quotient-vector-space · canonical_mko
前置節點
對偶向量空間
實向量空間的對偶空間由所有實值線性泛函組成；座標covector表示依賴基底。
atlas-dual-vector-space · canonical_mko
前置節點
拓撲閉包與內部
集合閉包是所有閉超集的交，內部是所有開子集的聯；兩者相對於指定拓撲。
atlas-closure-and-interior · canonical_mko
前置節點
拓撲邊界
集合A的拓撲邊界為closure(A)減去interior(A)，亦等於closure(A)交closure(complement A)。
atlas-topological-boundary · canonical_mko
前置節點
開覆蓋與子覆蓋
開覆蓋由指定拓撲的開集組成且聯集包含目標集合；子覆蓋須取自原覆蓋並仍覆蓋同一目標。
atlas-open-cover-and-subcover · canonical_mko
前置節點
緊緻拓撲空間
拓撲空間緊緻，若每個開覆蓋都有有限子覆蓋；每個有限拓撲空間皆緊緻。
atlas-compact-topological-space · canonical_mko
前置節點
連通拓撲空間
拓撲空間連通，若不存在由兩個不交非空開集組成的separation；等價於無非平凡clopen subset。
atlas-connected-topological-space · canonical_mko
前置節點
同胚
同胚是雙射、連續且逆映射亦連續的映射；一般continuous bijection仍可能不是同胚。
atlas-homeomorphism · canonical_mko
前置節點
函數列逐點收斂
同一domain上的函數列逐點收斂，若每個固定x的值序列收斂至f(x)，且N可依x與epsilon改變。
atlas-pointwise-convergence-of-functions · canonical_mko
前置節點
函數列一致收斂
一致收斂要求同一N(epsilon)同時控制domain全部x。
atlas-uniform-convergence-of-functions · canonical_mko
前置節點
無窮級數
無窮級數以partial-sum sequence的極限定義；項趨零必要但不充分。
atlas-infinite-series · canonical_mko
前置節點
級數絕對收斂
sum |a_n|收斂時sum a_n絕對收斂；絕對收斂推出收斂，反向不一般成立。
atlas-absolute-convergence-of-series · canonical_mko
前置節點
幾乎必然收斂
同一機率空間上的隨機變數序列若在零機率例外集外逐點收斂，則幾乎必然收斂。
atlas-almost-sure-convergence · canonical_mko
前置節點
Lp收斂
共同機率空間上固定整數p≥1時，E|X_n−X|^p→0稱Lp收斂。
atlas-lp-convergence · canonical_mko
前置節點
弱大數律
IID且具有有限variance時，Chebyshev界給樣本平均依機率收斂到共同mean。
atlas-weak-law-large-numbers · canonical_mko
前置節點
貝氏定理
正分母條件下，Bayes定理以共同intersection與priors/likelihoods精確反轉條件機率。
atlas-bayes-theorem · canonical_mko
前置節點
參數統計模型
參數統計模型為每個theta指定同一有限可測sample space上的完整機率law P_theta。
atlas-parametric-statistical-model · canonical_mko
前置節點
統計估計量
估計量是固定且不依未知theta的可測total statistic；觀察後數值是estimate。
atlas-statistical-estimator · canonical_mko
前置節點
抽樣分布
固定theta時，估計量把樣本分布pushforward成統計量的抽樣分布；全部theta形成一族laws。
atlas-sampling-distribution · canonical_mko
前置節點
估計量偏誤
估計量在theta的偏誤是其theta抽樣分布期望減去目標參數；無偏要求對所有theta成立。
atlas-estimator-bias · canonical_mko
前置節點
估計量變異數
估計量變異數逐theta衡量sampling law相對自身期望的二次離差，不等同偏誤或MSE。
atlas-estimator-variance · canonical_mko
前置節點
Euler trail與circuit
Euler trail恰用每條邊一次；非零邊支撐連通且奇度數為0或2時分別有circuit或open trail。
atlas-eulerian-trail · canonical_mko
前置節點
生成樹
生成樹是包含父圖全部頂點的連通無圈子圖。
atlas-spanning-tree · canonical_mko
前置節點
圖匹配
有限圖的matching是彼此不共享端點的邊子集；空matching合法。
atlas-graph-matching · canonical_mko
前置節點
最大匹配
最大匹配是在完整有限圖全部合法matching中邊數最大者；可有多個且不必perfect。
atlas-maximum-matching · canonical_mko
前置節點
Clique與獨立集
Clique內每對不同頂點相鄰，獨立集內每對不同頂點不相鄰；最大與極大不可混同。
atlas-clique-and-independent-set · canonical_mko
前置節點
色數
有限簡單圖的色數是proper頂點著色所需顏色數的最小值，需同時具備上界與下界證書。
atlas-chromatic-number · canonical_mko
前置節點
Euler φ函數
Euler φ(n)計數一個完整剩餘代表系中與n互質的代表；約定φ(1)=1。
atlas-euler-totient-function · canonical_mko
前置節點
中國剩餘定理
正兩兩互質模數的同餘系統在模乘積意義下存在唯一解。
atlas-chinese-remainder-theorem · canonical_mko
前置節點
模反元素
n≥2時，a模n有乘法反元素恰當gcd(a,n)=1；反元素在模n意義唯一。
atlas-modular-inverse · canonical_mko
前置節點
線性Diophantine方程
非退化整數方程ax+by=c有解恰當gcd(a,b)整除c，全部解由一個整數參數給出。
atlas-linear-diophantine-equation · canonical_mko
前置節點
Fermat小定理
p為質數時a^p同餘a；若p不整除a則可化為a^(p-1)同餘1，逆命題不成立。
atlas-fermat-little-theorem · canonical_mko
前置節點
Euclidean演算法
Euclidean演算法以精確帶餘除法、gcd invariant與嚴格餘數下降求最大公因數。
atlas-euclidean-algorithm · canonical_mko
前置節點
確定有限自動機
DFA由有限狀態集、有限字母表、總轉移函數、唯一初始狀態與接受狀態子集組成。
atlas-finite-automaton · canonical_mko
前置節點
正規語言
正規語言是存在一個完整DFA可辨識其全部字串的語言。
atlas-regular-language · canonical_mko
前置節點
有限群作用
有限群在有限集合上的作用是滿足單位與乘法相容律的total action table。
atlas-finite-group-action · canonical_mko
前置節點
有限群作用的軌道
有限群作用下，一點被全部群元素送到的像集合形成軌道，全部軌道分割carrier。
atlas-finite-group-orbit · canonical_mko
前置節點
有限群作用的穩定子群
指定點的stabilizer是有限群作用中固定該點的全部群元素，並形成子群。
atlas-finite-group-stabilizer · canonical_mko
前置節點
軌道－穩定子定理
完整有限群作用中，同一點的orbit大小乘以stabilizer大小等於群階。
atlas-orbit-stabilizer-theorem · canonical_mko
前置節點
有限正規子群
有限群G的子群H若對每個g皆滿足gHg^{-1}=H，則H為正規子群；等價地每個左陪集等於相應右陪集。
atlas-finite-normal-subgroup · canonical_mko
前置節點
有限商群
有限群G依正規子群N的陪集形成商群，元素是cosets且乘法(gN)(hN)=(gh)N必須與代表元無關。
atlas-finite-quotient-group · canonical_mko
前置節點
有限群共軛類
有限群G以conjugation g·x=gxg^{-1}作用於自身，其orbits形成共軛類並分割G。
atlas-finite-group-conjugacy-class · canonical_mko
前置節點
有限群中心
有限群G的中心Z(G)由與每個群元素交換的全部元素構成，且是G的正規子群。
atlas-finite-group-center · canonical_mko
前置節點
有限群的Lagrange定理
有限群G的子群H以等大左陪集分割G，因此|G|=[G:H]|H|且|H|整除|G|。
atlas-lagrange-theorem-finite-groups · canonical_mko
前置節點
有限群同態的核
有限群同態f:G→Q映到目標identity的完整原像是G的正規子群，且同態fibers恰為kernel的陪集。
atlas-finite-group-homomorphism-kernel · canonical_mko
前置節點
有限群第一同構定理
有限群同態f:G→Q由kernel cosets誘導出G/ker f到im f的群同構，而非自動同構到整個codomain。
atlas-first-isomorphism-theorem-finite-groups · canonical_mko
前置節點
有限群的Cauchy定理
若質數p整除有限群G的階，則G含有一個exact order為p的元素。
atlas-cauchy-theorem-finite-groups · canonical_mko
前置節點
上確界與下確界
非空且有界實數集合的supremum是最小上界，infimum是最大下界，兩者未必屬於集合。
atlas-supremum-and-infimum · canonical_mko
前置節點
子數列
子數列由嚴格遞增的自然數索引映射選取原數列項並保留次序。
atlas-subsequence · canonical_mko
前置節點
單調有界數列收斂定理
非遞減且有上界的實數列收斂至其項集合supremum；非遞增版本對偶收斂至infimum。
atlas-monotone-sequence-convergence-theorem · canonical_mko
前置節點
實數列Bolzano－Weierstrass定理
每個整體有界的實數列都有一個以嚴格遞增無限索引取得的收斂子數列。
atlas-bolzano-weierstrass-theorem-real · canonical_mko
前置節點
介值定理
連續實函數在閉區間端點值之間取到每個中間值。
atlas-intermediate-value-theorem · canonical_mko
前置節點
微分中值定理
若a<b，f在[a,b]連續且在(a,b)可微，則某個內點c的導數等於端點割線斜率。
atlas-mean-value-theorem · canonical_mko
前置節點
高階導數
以f^(0)=f及f^(n+1)=(f^(n))'遞迴定義每個存在的有限階導數。
atlas-higher-order-derivative · canonical_mko
前置節點
Taylor多項式
在中心a由f的零階到n階導數值依factorial縮放組成n階Taylor多項式。
atlas-taylor-polynomial · canonical_mko
前置節點
Taylor餘項定理
足夠高階可微函數的Taylor approximation error由Lagrange remainder與derivative bound控制。
atlas-taylor-remainder-theorem · canonical_mko
前置節點
級數比較判別法
非負項級數可由逐項或最終逐項上界與下界傳遞收斂或發散。
atlas-series-comparison-test · canonical_mko
前置節點
級數比值判別法
非零項絕對值相鄰比極限小於一時絕對收斂，大於一時發散，等於一時不判定。
atlas-ratio-test-series · canonical_mko
前置節點
冪級數收斂半徑
冪級數在中心c周圍具有內部絕對收斂、外部發散的半徑R，邊界點須逐案判定。
atlas-power-series-radius-of-convergence · canonical_mko
前置節點
一致極限保持連續
同一domain上的連續函數列若一致收斂至f，則極限函數f連續。
atlas-uniform-limit-continuity-theorem · canonical_mko
前置節點
實指數函數
實指數函數以對每個實數絕對收斂的冪級數E(x)=sum_{n≥0}x^n/n!定義，並滿足E(x+y)=E(x)E(y)與E(x)>0。
atlas-real-exponential-function · canonical_mko
前置節點
瑕積分
無界區間或含奇點的積分以適當有限區間積分的one-sided limits定義，且每個必要分段須獨立收斂。
atlas-improper-integral · canonical_mko
前置節點
拓撲基底
拓撲基底以覆蓋carrier與逐點局部交細化兩條公理生成拓撲。
atlas-topological-basis · canonical_mko
前置節點
子空間拓撲
Y⊆X的相對拓撲由全部母空間open sets與Y的交集組成。
atlas-subspace-topology · canonical_mko
前置節點
有限乘積拓撲
有限多個拓撲空間的Cartesian product由open rectangles生成乘積拓撲。
atlas-finite-product-topology · canonical_mko
前置節點
商拓撲
滿射q:X→Y使U⊆Y恰在q逆像開時為開，從而賦予Y商拓撲。
atlas-quotient-topology · canonical_mko
前置節點
Hausdorff空間
拓撲空間X若每對不同點都有不交open neighborhoods即為Hausdorff。
atlas-hausdorff-space · canonical_mko
前置節點
緊緻子集
K⊆X在subspace topology下compact，等價地每個relative-open cover有有限subcover。
atlas-compact-subset · canonical_mko
前置節點
緊緻集的連續像
若K在X中compact且f:X→Y連續，則image f(K)在Y中compact。
atlas-continuous-image-of-compact · canonical_mko
前置節點
道路連通空間
空間中任意兩點若可由單位區間的連續映射連接，則空間道路連通。
atlas-path-connected-space · canonical_mko
前置節點
拓撲連通分支
指定點的連通分支是包含該點的極大連通子集；所有分支分割空間且各自閉。
atlas-topological-connected-component · canonical_mko
前置節點
Hausdorff空間中的緊緻集為閉集
若K是Hausdorff空間X的緊緻子集，則K在X中為閉集。
atlas-compact-subset-closed-in-hausdorff · canonical_mko
前置節點
Markov不等式
非負且有限期望的隨機變數在正閾值上的尾機率不超過E[X]/a。
atlas-markov-inequality · canonical_mko
前置節點
Chebyshev不等式
有限均值與變異數的隨機變數偏離均值至少epsilon的機率不超過variance/epsilon²。
atlas-chebyshev-inequality · canonical_mko
前置節點
全期望公式
同一有限機率空間上，完整partition各cell的conditional mean按cell probability加權後等於E[X]。
atlas-law-of-total-expectation · canonical_mko
前置節點
全變異數公式
同一有限law與完整partition生成的G下，總變異數等於cell內變異數期望加cell均值變異數。
atlas-law-of-total-variance · canonical_mko
前置節點
連續實值分布函數
本節點以CDF本身連續定義continuous distribution；CDF仍須nondecreasing、right-continuous且兩端極限0與1。
atlas-continuous-real-distribution-function · canonical_mko
前置節點
標準常態分布
標準常態Z以Gaussian density phi(x)=(2pi)^(-1/2)exp(-x^2/2)與其連續CDF Phi定義，並具有mean 0、variance 1。
atlas-standard-normal-distribution · canonical_mko
前置節點
有限變異數IID中央極限定理
共同law且0<σ²<∞的無限IID序列，其正確中心化與sqrt(n)標準化和依分布收斂至標準常態。
atlas-central-limit-theorem-finite-variance-iid · canonical_mko
前置節點
有限值IID強大數律
有限值無限IID序列的樣本平均幾乎必然收斂至共同期望。
atlas-strong-law-large-numbers-finite-valued-iid · canonical_mko
前置節點
有限模型最大似然估計量
有限參數模型中，MLE選取使觀察likelihood最大的參數，tie需固定且與theta無關。
atlas-finite-maximum-likelihood-estimator · canonical_mko
前置節點
估計量均方誤差
scalar parameter theta下，估計量T的MSE_theta(T)=E_theta[(T-theta)^2]由完整sampling distribution逐theta定義。
atlas-estimator-mean-squared-error · canonical_mko
前置節點
偏誤－變異數分解
逐參數theta，scalar estimator的MSE等於其variance加上bias平方。
atlas-bias-variance-decomposition · canonical_mko
前置節點
有限模型充分統計量
finite model中，給定statistic value後sample conditional law不依theta時，T對theta充分。
atlas-finite-sufficient-statistic · canonical_mko
前置節點
有限模型信賴區間覆蓋率
有限模型中預先固定的interval-valued procedure逐參數覆蓋真值的機率，定義其frequentist coverage。
atlas-finite-confidence-interval-coverage · canonical_mko
前置節點
鴿籠原理
有限total map的domain比codomain大時必有兩個不同元素共享像。
atlas-pigeonhole-principle · canonical_mko
前置節點
容斥原理
有限indexed set family的union cardinality是全部非空index subsets交集大小的交替和。
atlas-inclusion-exclusion-principle · canonical_mko
前置節點
二項式定理
交換乘法環境中，natural exponent n的二項式冪以binomial coefficients完整展開。
atlas-binomial-theorem · canonical_mko
前置節點
遞迴關係
order-r recurrence以明示initial values與total single-valued state update逐項決定sequence。
atlas-recurrence-relation · canonical_mko
前置節點
解析普通生成函數
數列(a_n)在明示收斂域內以ordinary power series A(x)=sum_{n≥0}a_nx^n解析編碼。
atlas-analytic-ordinary-generating-function · canonical_mko
前置節點
Catalan數
Catalan數採C_0=1，並以convolution recurrence或兩個exact closed forms定義同一zero-based sequence。
atlas-catalan-numbers · canonical_mko
前置節點
頂點覆蓋
有限simple undirected graph的頂點子集C若與每條edge至少一端相交，則C為vertex cover。
atlas-vertex-cover · canonical_mko
前置節點
最小頂點覆蓋
有限simple graph中，cardinality在全部vertex covers裡最小的候選是minimum vertex cover。
atlas-minimum-vertex-cover · canonical_mko
前置節點
有限有向圖
有限loop-free simple digraph由有限vertices與不含loop、無平行同向重邊的ordered-pair edge set組成。
atlas-finite-directed-graph · canonical_mko
前置節點
有向無環圖的拓撲排序
有限有向圖存在topological ordering恰當其無directed cycle。
atlas-topological-ordering-dag · canonical_mko
前置節點
有限流網路
有限有向網路中的非負流須逐邊不超過capacity，並在source與sink以外每個頂點滿足流量守恆。
atlas-finite-flow-network · canonical_mko
前置節點
最大流最小割定理
有限容量網路的最大feasible flow value等於全部s–t cuts中的最小capacity。
atlas-max-flow-min-cut-theorem · canonical_mko
前置節點
Euler定理
n>=2且gcd(a,n)=1時，a的phi(n)次方模n同餘於1。
atlas-euler-theorem-number-theory · canonical_mko
前置節點
模n乘法階
gcd(a,n)=1時，ord_n(a)是a^k≡1 mod n的最小正整數k。
atlas-multiplicative-order-mod-n · canonical_mko
前置節點
整數唯一質因數分解
每個n>1有prime factorization且prime multiset唯一，只允許因數次序差異。
atlas-unique-prime-factorization · canonical_mko
前置節點
Wilson定理
整數n>1為質數，恰當(n-1)!模n同餘於-1。
atlas-wilson-theorem · canonical_mko
前置節點
二次剩餘
本節點採odd prime p上的nonzero convention：a mod p非零且等於某個nonzero square時為quadratic residue。
atlas-quadratic-residue · canonical_mko
前置節點
Legendre符號
對奇質數p，Legendre符號以0、1、-1分別編碼zero class、nonzero quadratic residue與nonresidue。
atlas-legendre-symbol · canonical_mko
前置節點
Euler二次剩餘判準
若p為奇質數且p不整除a，則a^((p-1)/2)模p等於Legendre符號(a/p)的模p代表。
atlas-euler-criterion-quadratic-residue · canonical_mko
前置節點
整數p進賦值
對質數p與非零整數a，v_p(a)是p整除|a|的最高次數；本節固定v_p(0)=infinity。
atlas-p-adic-valuation-integers · canonical_mko
前置節點
Möbius函數
Möbius函數在positive integers上由完整prime multiplicities決定：mu(1)=1、含平方質因數為0、squarefree取parity sign。
atlas-mobius-function · canonical_mko
前置節點
有限因數格上的Möbius反演
若F(n)是所有正因數d上的f(d)總和，則以Möbius權重可精確反演f(n)。
atlas-mobius-inversion-finite-divisors · canonical_mko
前置節點
正規表示式
正規表示式由empty language、epsilon、alphabet symbols、union、concatenation與Kleene star遞迴建構語言。
atlas-regular-expression · canonical_mko
前置節點
非確定有限自動機
epsilon-NFA以狀態、input symbol或epsilon對應可能後繼集合，存在一條full-input final path即接受。
atlas-nondeterministic-finite-automaton · canonical_mko
前置節點
NFA到DFA的子集合構造
以epsilon-NFA狀態子集合為DFA狀態，start、transition與acceptance按epsilon closure定義即可保持語言。
atlas-subset-construction-nfa-to-dfa · canonical_mko
前置節點
正規語言Pumping引理
每個正規語言都有p，使每個長度至少p的成員word存在可反覆pumping且仍留在語言的分解。
atlas-pumping-lemma-regular-languages · canonical_mko
前置節點
上下文無關文法
CFG由有限且不交的nonterminals、terminals、start與單一nonterminal左側的finite productions生成語言。
atlas-context-free-grammar · canonical_mko
前置節點
下推自動機
nondeterministic PDA以有限控制、input與stack transitions運算，本輪固定讀完input且到final state接受。
atlas-pushdown-automaton · canonical_mko
前置節點
Turing機判定模型
固定deterministic single-tape Turing機語義；decider必須對每個合法輸入停機並給正確accept/reject答案。
atlas-turing-machine-decision-model · canonical_mko
前置節點
多對一歸約
A≤mB表示存在total computable f，使每個x皆滿足x∈A恰當f(x)∈B。
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前置節點
壓縮映射定理
非空完備度量空間上的self-map若以固定q<1壓縮所有距離，則有唯一fixed point且Picard orbit收斂。
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前置節點
Newton根求解方法
在導數非零的目前點，以切線零點更新x至x-f(x)/f'(x)；收斂是另需局部假設的責任。
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前置節點
複合梯形數值積分
在嚴格遞增partition上逐段以端點平均乘各自寬度，得到定積分的複合梯形近似。
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前置節點
梯度向量
在固定standard Euclidean coordinates中，可微實值函數的一階偏導依座標排列成梯度向量。
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前置節點
梯度下降法
在固定Euclidean coordinates中以正步長沿負梯度更新；下降與收斂仍需目標及步長假設。
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前置節點
等式約束Lagrange乘數必要條件
正則等式約束局部極值點的目標梯度，必為constraint gradients的線性組合。
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前置節點
線性規劃標準形
本節點固定唯一primal convention：maximize c^T x，subject to Ax≤b與x≥0。
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前置節點
線性規劃對偶
對固定primal max c^Tx、Ax≤b、x≥0，其dual為min b^Ty、A^Ty≥c、y≥0；feasible pair滿足弱對偶。
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