級數比較判別法

數學敘述

對足夠大n明示0≤a_n≤b_n。若sum b_n收斂，則sum a_n收斂；若sum a_n發散，則sum b_n發散。題族以exact geometric tails、有限前綴與正下界證書核對；有限多項不影響級數收斂性。負項、反向不等式、只有有限多個sample或拿divergent upper bound推被比較級數發散，都不滿足判別責任。

代表公式（精確 TeX）

C(a,b)=c

成立條件

• 比較自某個明示N起對每個n成立，且被比較項非負。
• 基準級數的收斂或發散性有獨立證書，不由有限前綴猜測。

符號作用域

• C — 級數比較算子
• a — 被比較級數項
• b — 基準級數項
• c — 比較結論

直觀、定義與常見誤解

先分清convergence upper comparison與divergence lower comparison的方向。

eventual comparison允許任意有限前綴，但尾端責任必須是全稱。

幾何尾與正下界只提供可重算instance，不取代一般定理證明。

把有限多項抽樣、反向不等式或一個發散上界當成比較判別證書。

已採用的推導導讀

原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。

前置知識

• 無窮級數 — 級數與部分和語義。
• 實數大小與順序 — 逐項不等式。
• 數列極限與精確尾界 — 部分和收斂與發散背景。
• 單調有界數列收斂定理 — 非負級數的單調部分和與上界收斂責任。

驗證界線

exact geometric instances只證指定序列；一般比較判別仍需完整全稱論證。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。

下一個義務

加入極限比較判別與積分判別。

同源結構化資料

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