最終比較的方向與有限前綴

目標與範圍

證一個有任意有限前綴的級數由幾何尾上比較收斂，並示下比較發散。

明示 cutoff N=2 之後的全部非負項；有限前綴不限制符號。

已知條件與符號

• algebra
• epsilon
• nonnegative_series

• G1 — a_0=5,a_1=-1，a_n=(3/4)2^{-n}（n≥2）；b_n=2^{-n}（n≥2）。

• N=2 — 全尾比較起點
• A_M — 非負尾部分和

規則與來源

• mko_definition · cited — 對足夠大n明示0≤a_n≤b_n。若sum b_n收斂，則sum a_n收斂；若sum a_n發散，則sum b_n發散。題族以exact geometric tails、有限前綴與正下界證書核對；有限多項不影響級數收斂性。負項、反向不等式、只有有限多個sample或拿divergent upper bound推被比較級數發散，都不滿足判別責任。 · mko-series-comparison-test
• algebra · prerequisite — 實數域的等式運算；除法前分母必非零，不等式乘正數保持方向。
• epsilon · prerequisite — 收斂表示每個正 epsilon 有一個整數 N，使全部 n≥N 的誤差嚴格小於 epsilon；使用實數 Archimedean 性。
• nonnegative_series · prerequisite — 非負項部分和單調；若其有上界則由實數完備性收斂，若其無界則發散；有限前綴只加固定常數。

逐步主鏈

n\ge2

0\le a_n=(3/4)2^{-n}\le2^{-n}=b_n

\sum_{n=2}^{M}b_n

\sum_{n=2}^{M}2^{-n}=1/2-2^{-M}\to1/2

A_M=\sum_{n=2}^{M}a_n

0\le A_M\le\sum_{n=2}^{M}b_n\le1/2

A_M\text{ nondecreasing and bounded above}

\sum_{n=2}^{\infty}a_n\text{ converges}

\sum_{n=0}^{M}a_n=5-1+(3/4)\sum_{n=2}^{M}2^{-n}

\sum_{n=0}^{\infty}a_n=4+3/8=35/8

c_n=1,\quad d_n=1+2^{-n}\quad(n\ge2)

0\le c_n\le d_n,\quad\sum_{n=2}^{M}c_n=M-1

\sum_{n=2}^{M}d_n\ge M-1\to\infty

\sum d_n\text{ diverges}

0\le u_n\le v_n\text{ eventually}

\sum v_n\text{ convergent}\Rightarrow\sum u_n\text{ convergent};\quad\sum u_n\text{ divergent}\Rightarrow\sum v_n\text{ divergent}

局部子步與引理

本稿無局部子步。

逐步反向審查

• S08 · premise_audit · S01, S04, S06, S07 — 這是有前提的方向命題，不是由幾何實例外推未驗比較。
• S07 · premise_audit · S06 — 發散上界沒有同方向結論。
• S06 · premise_audit · G1 — 新 c,d 與主 a,b 已清楚區分。
• S05 · premise_audit · G1, S02, S04 — 不把前綴符號當影響收斂性的尾證書。
• S04 · premise_audit · S01, S03 — 若允許任意負尾項，這個單調證法失效。
• S03 · premise_audit · S01, S02 — 不等式涵蓋所有 M≥2，不是有限 grid。
• S02 · premise_audit · G1 — 參考級數收斂不是從被比較級數猜來。
• S01 · premise_audit · G1 — 未對負前綴 a_1 強加非負比較。

錯誤控制與反例

方向

收斂看上界，發散看下界。

最終量詞

指定 N 後對所有後項證非負比較。

• 上界級數發散則較小級數必發散。 → reject — 2^{-n}≤1/n（n≥1）但前者收斂後者發散。
• 有限多個比較成立就夠。 → reject — 需要每個 n≥N 的全稱尾端。
• a_1=-1 使最終比較不能用。 → reject — 前綴可分離，N=2 後全尾非負。

結論與限制

主級數收斂為 35/8；正下界 c_n=1 迫使 d 級數發散。

驗證及來源綁定

1 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

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• Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

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