軌道、固定點與週期點

數學敘述

對自映射 T:X→X，x 的前向軌道為 x,T(x),T²(x),…。若 T(x)=x，x 是固定點；若存在最小正整數 p 使 T^p(x)=x，則 x 是最小週期 p 的週期點。最終進入循環不代表起點本身為週期點。

代表公式（精確 TeX）

T(x)=x

成立條件

• 題庫採完整有限剩餘類狀態及仿射自映射，可枚舉至首次重複。
• 分類只適用指定有限模型；不由任意有限前綴推論一般無限系統非週期。

符號作用域

• T — 狀態更新自映射
• x — 指定起點

直觀、定義與常見誤解

固定點是最小週期1的特殊情形；T^p(x)=x只證p是返回時間，仍要排除更小正返回時間。

有限自映射從任一點出發終會重複，但若首次循環在起點之後才開始，起點只是前週期點。

完整有限表可精確列出各點最小週期；這不外推連續系統或參數族的週期結構。

把任何返回時間都叫最小週期，或把最後進入循環的起點也叫週期點。

已採用的推導導讀

原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。

前置知識

• 離散時間動力系統 — 軌道由既定自映射反覆迭代。
• 數列 — 軌道按自然數時間排列。
• 方程式 — 固定與週期條件是迭代等式。

驗證界線

完整有限模型可分類指定點；有限前綴本身不證一般非週期性。

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這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。

下一個義務

加入前週期、吸引週期、穩定性與參數分岔。

同源結構化資料

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