離散時間動力系統

數學敘述

離散時間動力系統由狀態空間 X 與自映射 T:X→X 組成。給定初始狀態 x_0∈X，以 x_(n+1)=T(x_n) 定義其前向軌道；本輪只在完整明示的有限 X 上精確迭代。

代表公式（精確 TeX）

x_{n+1}=T(x_n)

成立條件

• 時間索引為包含 0 的自然數，T 是 X 上的總自映射。
• 題庫採有限剩餘類狀態與仿射更新；有限前綴不外推連續時間、漸近穩定或混沌。

符號作用域

• x — 狀態軌道
• n — 離散時間索引
• T — 狀態更新自映射

直觀、定義與常見誤解

初始狀態與更新映射共同決定軌道；只給狀態集合而沒有 T，不足以決定演化。

固定點滿足 T(x)=x；正向不變子集 A 滿足 T(A)⊆A。有限狀態時可完整枚舉這些局部性質。

有限軌道或有限狀態循環不等於連續時間模型，也不證一般參數族的穩定性、週期分類或混沌性。

把幾個迭代值當成一般長期行為證明，或把離散更新直接解讀為連續微分方程。

已採用的推導導讀

原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。

前置知識

• 集合 — 狀態空間以集合表示。
• 函數映射 — 更新規則必須是狀態空間的總自映射。
• 自然數 — 離散時間由自然數索引。

驗證界線

本輪只核對明示有限自映射的更新、軌道前綴、固定點與不變子集；不宣稱一般動力系統定理。

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這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。

下一個義務

補充軌道、週期點、吸引性與穩定性的分層定義及形式化。

同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。