軌道、固定點與週期點：完整分類 T(x)=(2x+1) mod 6 的六個狀態

目標與範圍

在狀態空間 X={0,1,2,3,4,5} 上取自映射 T(x)=(2x+1) mod 6。求出全部固定點與最小週期 2 的週期點；證明對最小週期 p 的點，T^n(x)=x 當且僅當 p 整除 n，並用它說明 T^4(1)=1 不表示 1 的最小週期是 4；最後證明 0、2、4 不是週期點，雖然它們的軌道一步之後就進入循環。

在 MKO 的範圍內工作：完整有限剩餘類狀態與仿射自映射，分類只適用這個指定的有限模型（假設 a1、a2）。固定點與週期 2 的判定由同餘代數證明，再以覆蓋全部六個狀態的有限核對交叉檢查。不處理吸引性、穩定性、參數分岔或無限系統；不改動 canonical MKO 或英文 edition。

已知條件與符號

• division_algorithm
• divides_def
• nat_induction
• composition_def
• image_preimage_def
• case_analysis
• contradiction

• G1 — X={0,1,2,3,4,5}，以最小非負餘數代表模 6 的六個剩餘類（完整有限剩餘類狀態，MKO 假設 a1）。
• G2 — T:X→X，T(x)=(2x+1) mod 6，其中 m mod 6 是整數 m 除以 6 的餘數。
• G3 — 迭代：T^0 是 X 上的恆等映射，T^(n+1)=T∘T^n。x 的前向軌道是 x、T(x)、T²(x)，依此類推。
• G4 — 定義（MKO）：T(x)=x 時 x 是固定點；若存在正整數 n 使 T^n(x)=x，x 是週期點，其中最小的這種 n 稱為最小週期 p(x)。本稿稱 x 為前週期點，指 x 不是週期點，但某個 T^k(x)（k≥1）是週期點。

• X — 狀態空間 {0,1,2,3,4,5}
• T — 自映射 T(x)=(2x+1) mod 6
• T^n — T 的 n 次迭代，T^0 為恆等映射
• p(x) — x 的最小週期
• T(X) — T 的像集合
• u\equiv v\pmod 6 — 模 6 同餘

規則與來源

• division_algorithm · prerequisite — 帶餘除法：對整數 a 與正整數 b，存在唯一的整數 q、r 使 a=bq+r 且 0≤r<b。
• divides_def · prerequisite — 整除：對整數 a、b，a∣b 表示存在整數 k 使 b=ak。
• nat_induction · prerequisite — 數學歸納原理：對從 n₀ 起的命題族 P(n)，若 P(n₀) 成立，且對每個 n≥n₀ 都有 P(n)⇒P(n+1)，則所有 n≥n₀ 都有 P(n)。
• composition_def · prerequisite — 合成：對 f:A→B 與 g:B→C，g∘f:A→C 定義為 (g∘f)(a)=g(f(a))。
• image_preimage_def · prerequisite — 像與原像：f(S)={f(a) ∣ a∈S}；f⁻¹(T)={a∈A ∣ f(a)∈T}。原像記號不預設 f 有反函數。
• case_analysis · prerequisite — 分情況論證：若 P∨Q 成立，且 P⇒R、Q⇒R 都已證，則 R 成立。所有情況必須涵蓋全部可能。
• contradiction · prerequisite — 反證法：若假設 ¬P 推出矛盾（某命題與其否定同時成立），則 P 成立。
• def_intro · prerequisite — 引入定義：可為一個命題、式子或物件取名；之後名稱與被定義者可互相替換。
• numeric_evaluation · prerequisite — 明確整數或有理數算式的精確求值；可以獨立重算。
• set_extensionality · prerequisite — 集合相等：A=B 當且僅當 A⊆B 且 B⊆A，即兩者有相同元素。
• add_inverse · prerequisite — 加法反元素：每個 u 都有 −u，使 u+(−u)=0；u−v 定義為 u+(−v)。
• distributive · prerequisite — 分配律：u(v+w)=uv+uw；配合乘法交換律也有 (v+w)u=vu+wu。
• mul_inverse_nonzero · prerequisite — 非零數的倒數：在 ℚ、ℝ、ℂ 中，若 u≠0，存在 1/u 使 u·(1/u)=1；對 u≠0 定義 v/u 為 v·(1/u)。u=0 時沒有倒數，v/0 不定義。
• eq_congruence · prerequisite — 等式同用：若 u=v，對兩邊做同一個有定義的運算 f，得 f(u)=f(v)。只對一邊做運算不屬於此規則。
• def_unfold · prerequisite — 展開定義：把一個已定義的詞換成它的定義內容（或反向收回），命題的真假不變。
• eq_replace · prerequisite — 等值代換：命題中的一個式子可換成與它相等的式子，命題的真假不變。
• and_intro_elim · prerequisite — 合取：由 P 與 Q 得 P∧Q；由 P∧Q 可分別得 P 與 Q。
• set_operations_def · prerequisite — 集合運算：x∈A∪B ⇔ x∈A 或 x∈B；x∈A∩B ⇔ x∈A 且 x∈B；x∈A∖B ⇔ x∈A 且 x∉B；在全集 U 中 Aᶜ=U∖A。
• mko_orbit_defs · cited — 對自映射 T:X→X，x 的前向軌道為 x、T(x)、T²(x) 等。若 T(x)=x，x 是固定點；若存在最小正整數 p 使 T^p(x)=x，則 x 是最小週期 p 的週期點。最終進入循環不代表起點本身為週期點。 · mko-orbit-fixed-periodic
• mod6_arith · prerequisite — 模 6 同餘：u≡v (mod 6) 表示 6∣(u−v)；同餘與加法、乘法相容；m mod 6 是唯一滿足 m≡r (mod 6) 的 r∈X；X 中兩元素相等 ⇔ 它們模 6 同餘。
• iterate_law · prerequisite — 對自映射 T 與所有自然數 a、b：T^(a+b)=T^a∘T^b（由 T^0=id、T^(n+1)=T∘T^n 對 a 歸納可得）。
• L_return · lemma — 若 x 的最小週期為 p，則對每個正整數 n：T^n(x)=x ⇔ p∣n。
• L_image · lemma — 對每個 x∈X 與每個正整數 n：T^n(x)∈T(X)。

逐步主鏈

\text{self-map and its iterates}

T:X\to X,\ T^0=\mathrm{id}_X,\ T^{n+1}=T\circ T^n

x\in X

T(x)=(2x+1)\bmod 6\in X

T(0),T(1),T(2),T(3),T(4),T(5)

1,\ 3,\ 5,\ 1,\ 3,\ 5

T(X)=\{T(x)\mid x\in X\}

T(X)=\{1,3,5\}

T(x)=x,\ x\in X

x=5

T^2(x)=T(T(x))

T^2(x)=(4x+3)\bmod 6

T^2(x)=x,\ x\in X

x\in\{1,3,5\}

x\in\{1,3,5\}

p(5)=1,\ p(1)=2,\ p(3)=2

p=\min\{n\geq 1\mid T^n(x)=x\}

\forall n\geq 1:\ T^n(x)=x\iff p\mid n

x=1,\ p(1)=2

T^n(1)=1\iff 2\mid n;\ T^4(1)=1,\ T^3(1)=3

n\geq 1

T^n(x)\in T(X)=\{1,3,5\}

x\in\{0,2,4\}

\forall n\geq 1:\ T^n(x)\neq x

T(0)=1,\ T(2)=5,\ T(4)=3

0,2,4\ \text{preperiodic, not periodic}

X=\{0,1,2,3,4,5\}

\mathrm{Fix}(T)=\{5\},\ \{x\mid p(x)=2\}=\{1,3\},\ \text{preperiodic}=\{0,2,4\}

局部子步與引理

2x+1\ \text{for}\ x=0,1,2,3,4,5

1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9,\ 11

1,3,5,7,9,11\ \bmod 6

1,\ 3,\ 5,\ 1,\ 3,\ 5

T(x)=x

2x+1\equiv x\pmod 6

2x+1\equiv x\pmod 6

6\mid x+1

6\mid x+1,\ x\in X

x=5

4x+3\equiv x\pmod 6

6\mid 3(x+1)

6\mid 3(x+1)

2\mid x+1

2\mid x+1,\ x\in X

x\in\{1,3,5\}

q=0

T^{0\cdot p}(x)=T^0(x)=x

T^{qp}(x)=x

T^{(q+1)p}(x)=x

n=qp+r,\ 0\le r<p

T^n(x)=T^r(x)

T^n(x)=x

r=0,\ p\mid n

T^n(x),\ n\geq 1

T^n(x)=T(T^{n-1}(x))\in T(X)

逐步反向審查

• S14 · sufficient_goal_reduction · S05, S08, S12, S13 — 目標 G：X 的完整分類。足夠條件 H：S05、S08、S12、S13 的四個結論，加上三集合的聯集是 X；H⇒G 由合取。H 由定義與同餘代數正向證成，沒有把 G 當作前提。
• S13 · premise_audit · S08, S12, G4 — 前週期需要兩部分：不是週期點（S12）且某個 T^k(x) 是週期點（這裡 k=1，由 S03、S08）。
• S12 · premise_audit · S11, S04, contradiction — 需要 x 不在像集合中（S04）與 L_image；不宣稱反向，即不在像中是非週期的充分條件，但不是必要條件。
• S11.1 · premise_audit · G3, composition_def, image_preimage_def — 只用迭代的遞迴定義與像集合定義，對每個 n≥1 一致成立，不是有限核對。
• S11 · premise_audit · L_image, S04 — 需要 n≥1；n=0 時 T^0(x)=x 可以不在像集合中，這正是 0、2、4 的情形。
• S10 · premise_audit · S08, L_return — 需要 p(1)=2（S08）與引理；N9、N10 是對 T^4(1)、T^3(1) 的直接計算交叉核對。
• S09.4 · premise_audit · S09.2, S09.3, contradiction, G4 — 矛盾只用到 p 的最小性與 0≤r<p；兩個方向都已處理。
• S09.3 · premise_audit · division_algorithm, iterate_law, S09.2 — 需要 p≥1 才能做帶餘除法，以及 S09.2 的歸納結論。
• S09.2 · premise_audit · iterate_law, nat_induction, G4 — 需要歸納假設、迭代律與 T^p(x)=x；不宣稱 p 的倍數以外沒有返回時間（那是 S09.4 的工作）。
• S09.1 · premise_audit · G3, nat_induction — 只用 T^0 的定義。
• S09 · premise_audit · L_return, iterate_law, G4 — 引理只需要 p 是最小正返回時間與迭代律；它不依賴 X 有限或 T 的具體公式。
• S08 · premise_audit · S03, S05, S07, G4 — 需要兩件事：T^p(x)=x（S05、S07），以及對每個 1≤n<p 有 T^n(x)≠x（由值表 S03）。只有前者不足以確定最小週期。
• S07.3 · inverse_equivalence · case_analysis — 六種情況涵蓋整個 X，逐一判定，兩向皆核。
• S07.2 · inverse_equivalence · divides_def, mul_inverse_nonzero — 乘 3 與除以 3 互為反運算，前提 3≠0；同一個 k 在兩個方向都適用。
• S07.1 · inverse_equivalence · divides_def, distributive — 同餘定義的展開與恆等式 4x+3−x=3(x+1)（N7）都是雙向的。
• S07 · inverse_equivalence · mod6_arith, divides_def — 三個子步都是等價；反向可直接核對 T²(1)=1、T²(3)=3、T²(5)=5。
• S06 · inverse_equivalence · mod6_arith, composition_def — 兩邊是 X 的同一個元素（同一剩餘類在 X 中唯一的代表），等式雙向成立；N6 對全部六個狀態交叉核對。
• S05.3 · inverse_equivalence · case_analysis, divides_def — 六種情況涵蓋 X 的全部元素，逐一判定，兩個方向都核對了。
• S05.2 · inverse_equivalence · divides_def, mod6_arith — 這是同餘定義的展開與一個恆等式，雙向成立。
• S05.1 · inverse_equivalence · mod6_arith — 「X 中相等 ⇔ 同餘」本身是雙向的。
• S05 · inverse_equivalence · mod6_arith, divides_def — 三個子步都是雙向的等價，所以 T(x)=x 與 x=5 同真同假；反向直接核對 T(5)=5。
• S04 · inverse_equivalence · S03, image_preimage_def, set_extensionality — 兩個包含都成立：每個 T(x) 屬於 {1,3,5}，每個 1、3、5 都有原像；集合依外延相等，兩種描述指同一集合。
• S03.2 · inverse_equivalence · division_algorithm — 反向：6·1+1=7 等式還原原數；帶餘除法的唯一性保證餘數唯一。
• S03.1 · inverse_equivalence · numeric_evaluation — 整數算術的值唯一，兩邊同值。
• S03 · inverse_equivalence · numeric_evaluation, division_algorithm — 每個值都是同一數的兩種寫法，可逐一重算（N1 至 N4）。
• S02 · premise_audit · G2, division_algorithm — 只需要除數 6 為正整數；不宣稱 T 是雙射（S04 會顯示它不是）。
• S01 · premise_audit · G1, G2, G3, G4, mko_orbit_defs — 此步只陳述模型與定義，不推出新事實；所有結論只在這個有限模型中成立。

錯誤控制與反例

返回時間不一定是最小週期

MKO 指出的誤解之一是把任何返回時間都叫最小週期。T^4(1)=1，但 T²(1)=1 已經成立，所以 1 的最小週期是 2（S08、S10）；T²(5)=5，但 T(5)=5，所以 5 的最小週期是 1。L_return 說明所有返回時間都是 p 的倍數，判定最小週期時必須排除每個更小的正整數。

最終進入循環不保證起點為週期點

0 的軌道 0、1、3、1、3 從第 1 步起循環，但循環不含起點 0。S12 證明 0 永遠回不來：每個 T^n(0)（n≥1）都在 {1,3,5} 中。把「最後進入循環」的起點稱為週期點，就是 MKO 指出的另一個誤解。

有限核對的範圍

N4、N5、N6、N8、N11 是對 X 全部六個狀態的有限核對；X 恰有這六個狀態，所以它們涵蓋本系統的整個狀態空間，而 S05、S07、S12 的結論另有代數證明。這些核對對其他模數、其他映射或無限系統不說明任何事（MKO 假設 a2）。

• T^4(1)=1，所以 1 的最小週期是 4 → reject — T²(1)=T(3)=1，2 是更小的正返回時間。
• 0 的軌道最後在 1 與 3 之間循環，所以 0 是週期點 → reject — 0∉T(X)={1,3,5}，所以對每個 n≥1 都有 T^n(0)≠0（S12）。
• T²(5)=5，所以 5 是最小週期 2 的週期點 → reject — T(5)=11 mod 6=5，最小週期是 1。
• 在狀態空間為 ℤ 的系統中，某點的軌道前 200 步都沒有回到起點，所以它不是週期點 → reject — 取 T(x)=x+1（0≤x<200）、T(200)=0、其餘 T(x)=x：0 在前 200 步不回來，但 T^201(0)=0。有限前綴不證非週期（MKO 假設 a2）。

結論與限制

對 T(x)=(2x+1) mod 6：唯一固定點是 5；1 與 3 構成最小週期 2 的循環；0、2、4 不在 T 的像中，所以永遠不會回到自己，是前週期點（一步後分別進入 1、5、3）。對最小週期 p 的點，T^n(x)=x 當且僅當 p∣n；所以 T^4(1)=1 只是返回時間，1 的最小週期仍是 2。

• 迭代律 T^(a+b)=T^a∘T^b 在本稿作為前置知識使用，沒有在此重新歸納證明。
• 吸引週期、穩定性與參數分岔屬於 MKO 的 formal next，本稿不處理；本稿的分類也不外推到其他仿射映射 (ax+b) mod m。

驗證及來源綁定

12 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

• source commit: b28a5edbd46279b1db2a3f3f48bb3f447e18899f
• adopted source SHA-256: 790a36d058c22ecf3ef889f75d6af706cd0f9c467bc505d2f3267262dbba5620
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• Lean: NOT_RUN · independent AI: NOT_MEASURED

同源完整 JSON（含公式、AST、反控制與修訂記錄）