級數比值判別法

數學敘述

對eventually nonzero序列明示L=lim |a_(n+1)/a_n|。L<1時另取L<q<1並建立eventual geometric domination而得absolute convergence；L>1時項絕對值最終不趨零而發散；L=1時判別無結論，p-series的p=2與p=1提供相反結果。必須取absolute ratio、證明極限而非只算有限多項，zero terms與不存在的ratio limit另行處理。

代表公式（精確 TeX）

R(a,L)=c

成立條件

• 相鄰比在某個尾端定義且其絕對值極限存在。
• L與1的比較使用exact rational或明示symbolic limit certificate。

符號作用域

• R — 比值判別算子
• a — 級數項
• L — 絕對比極限
• c — 判別結論

直觀、定義與常見誤解

先核eventual nonzero與absolute ratio limit。

L<1時明示L<q<1與geometric domination；L>1與L=1另行分層。

非恆定p-series ratios提供L=1相反witness；有限ratio samples與limit不存在都不得冒充定理假設。

把L=1當收斂、忽略絕對值，或由前幾個ratio就宣稱極限。

已採用的推導導讀

原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。

前置知識

• 級數絕對收斂 — L<1的結論與級數語義。
• 數列極限與精確尾界 — ratio limit。
• 絕對值 — 絕對比。
• 級數比較判別法 — L<q<1後的geometric domination。

驗證界線

geometric與p-series witnesses不取代一般ratio-test proof。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。

下一個義務

加入root test與limsup版本。

同源結構化資料

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