絕對值

數學敘述

函數 A:R→R 定義為：若 x≥0，則 A(x)=x；若 x<0，則 A(x)=-x。慣用記號為 |x|，且 |x|≥0。

代表公式（精確 TeX）

A(x)

成立條件

• x 是帶標準線性序與加法逆元的實數。

符號作用域

• A — 絕對值函數的代表記號
• x — 實數輸入
• |x| — x 的絕對值慣用記號

直觀、定義與常見誤解

若 x≥0，絕對值保留 x；若 x<0，絕對值取其相反數 -x。因此 |x| 永遠非負，且只有 x=0 時 |x|=0。

在數線上，|x| 是 x 到 0 的距離；兩個實數 a 與 b 之間的距離可表示為 |a-b|。距離不因交換端點而改變。

三角不等式 |x+y|≤|x|+|y|、一般不等式解法、複數模與範數都是另需聲明與證明的後續內容，不是這個分段定義本身。

常見誤解是把 |x| 一律寫成 x、把絕對值當成刪除負號的文字規則，或認為 |x| 可以是負數。

已採用的推導導讀

原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。

前置知識

• 實數 — 本條目在實數線與標準線性序上定義絕對值。
• 四則運算 — 負分支使用加法逆元 -x，距離例子使用差。

驗證界線

整數案例可由分段規則精確重算，但有限案例不構成全部實數性質、三角不等式或抽象絕對值公理的證明。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。

下一個義務

綁定 Mathlib 的 abs、abs_cases、abs_nonneg、abs_eq_zero 與實數線距離 |a-b| 的精確聲明及版本證據。

同源結構化資料

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