比值極限、幾何支配與 L=1

目標與範圍

以完整有理比值證 L<1 收斂及 L>1 發散，並核 L=1 無結論。

先驗尾端非零與絕對比值極限，不從有限 ratios 推極限。

已知條件與符號

• algebra
• epsilon
• real_complete

• G1 — a_n=(1/2)^n/(n+1), b_n=2^n/(n+1)，全部 n≥0；另 c_n=1/(n+1)、d_n=1/(n+1)^2。

• L — 已證存在的絕對比值極限
• q — L 與 1 間支配比

規則與來源

本稿部分規則文字經本輪讀者釐清，屬於改述而非逐字引文；被引用的原始來源內容及雜湊沒有改動。

• mko_definition · cited — 對eventually nonzero序列明示L=lim |a_(n+1)/a_n|。L<1時另取L<q<1並建立eventual geometric domination而得absolute convergence；L>1時項絕對值最終不趨零而發散；L=1時判別無結論，p-series的p=2與p=1提供相反結果。必須取absolute ratio、證明極限而非只算有限多項，zero terms與不存在的ratio limit另行處理。 · mko-ratio-test-series
• algebra · prerequisite — 實數域的等式運算；除法前分母必非零，不等式乘正數保持方向。
• epsilon · prerequisite — 收斂表示每個正 epsilon 有一個整數 N，使全部 n≥N 的誤差嚴格小於 epsilon；使用實數 Archimedean 性。
• real_complete · prerequisite — 非空有上界的實集合有 supremum，故單調有界實數列收斂；這也適用非負級數有界部分和。

逐步主鏈

a_n>0\quad(n\ge0)

\left|a_{n+1}/a_n\right|=\tfrac12\frac{n+1}{n+2}=\tfrac12-\frac1{2(n+2)}

\frac1{2(n+2)}\to0

L_a=1/2<q=3/4<1

a_{n+1}/a_n<1/2<3/4\quad(n\ge0)

0<a_n\le(3/4)^n a_0=(3/4)^n

\sum_{n=0}^{N}a_n\le\sum_{n=0}^{N}(3/4)^n\le4

\sum a_n\text{ converges absolutely}

\left|b_{n+1}/b_n\right|=2\frac{n+1}{n+2}=2-\frac2{n+2}

L_b=2>1,\quad b_{n+1}/b_n\ge3/2\ (n\ge2)

b_n\ge b_2(3/2)^{n-2}\quad(n\ge2)

b_n\not\to0;\quad\sum b_n\text{ diverges}

c_{n+1}/c_n=\frac{n+1}{n+2},\quad d_{n+1}/d_n=\left(\frac{n+1}{n+2}\right)^2

L_c=L_d=1

\sum c_n\text{ diverges by dyadic blocks};\quad\frac1{(n+1)^2}\le\frac1{n(n+1)}\ (n\ge1)

\sum d_n\text{ converges by telescoping upper comparison};\quad L=1\text{ is inconclusive}

局部子步與引理

本稿無局部子步。

逐步反向審查

• S08 · premise_audit · G1, S07 — 判別無結論並不代表原級數沒有收斂性狀態。
• S07 · premise_audit · G1 — 沒有把 L=1 偷換為每一步 ratio=1。
• S06 · premise_audit · S05 — 不是將 ratio>1 的一項單獨當發散證明。
• S05 · premise_audit · G1 — 大於 1 的界是整個尾端。
• S04 · premise_audit · S03, real_complete — 需有界單調實數收斂性，並由幾何和獨立給上界。
• S03 · premise_audit · S01, S02 — 支配是每個 n，不是僅一個小比值。
• S02 · premise_audit · S01 — L<q<1 三個關係皆嚴格。
• S01 · inverse_equivalence · G1 — 未忽略絕對值，也不在零分母上計算。

錯誤控制與反例

絕對比

先核非零尾端，再對絕對比值證極限。

臨界值

L=1 用其他獨立證書，不硬給結論。

• L=1 代表收斂。 → reject — c 是發散調和級數。
• 只看前十個比值小於 1 就證收斂。 → reject — 後續尾端可能變化，需極限或全尾支配。
• 有零項仍可無條件除相鄰項。 → reject — 分母為零時比值未定，需另處理。

結論與限制

a 絕對收斂、b 發散；調和與平方倒數在 L=1 給相反結果。

驗證及來源綁定

1 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

• source commit: b1b2f1dcf8c50d67a93fe52d95f8eef7b3abba9f
• adopted source SHA-256: c7fc6484daf7954a4c99bdd9232847aea95535b66a3afb08b3aaccb4de9bca45
• original source SHA-256: 145cf07dee2db5902e0aee1cd90128f627537e1e28080372018beb930eeeb3c5
• Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

同源完整 JSON（含公式、AST、反控制與修訂記錄）