一元實二次方程式

數學敘述

在實數論域中，令 q(x)=ax²+bx+c，a、b、c∈R 且 a≠0，則 q(x)=0 是一元二次方程式。令 D=b²−4ac：D<0 時無實根，D=0 時只有一個相異實根，D>0 時有兩個相異實根；D≥0 時根為 (-b±√D)/(2a)。

代表公式（精確 TeX）

q(x)=0

成立條件

• 論域固定為 R，a≠0；a=0 的方程不屬於二次方程式。
• 主平方根只在 D≥0 時使用；根集合重複值只列一次，不把重數當相異根數。

符號作用域

• q — 二次多項式
• x — 實數未知數

直觀、定義與常見誤解

先檢查 a≠0，再算判別式。D 的符號分類僅針對實根；不能把 D<0 的無實根寫成所有數域都無解。

在 a≠0 的前提下，平方完成給出 q(x)=0 ⇔ (2ax+b)²=D；D≥0 時可解回根公式。D=0 的兩個公式分支相同；根集合只列一個值。

題庫使用整數係數、候選有理根的分母清除代入，以及非負完全平方 D 的精確根集合。不使用浮點近似比較根，也不宣稱全部實數平方根的形式證明已完成。

略過 a≠0、把 D=0 說成兩個相異根，或把無實根誤當無複數根。

前置知識

• 方程式 — 需先固定未知數論域及解的代入條件。
• 自然數冪與主平方根 — 二次冪及 D≥0 的主平方根支撐根公式。
• 一元有理係數多項式 — 明示整數係數題目是實二次多項式的精確子類。

驗證界線

指定方程式的判別式與有理根可精確重算；一般根公式與實根分類仍未附形式 Evidence。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。

下一個義務

綁定實數非零二次係數、平方完成等價、判別式分類和精確根集合。

同源結構化資料

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