有限群的Cauchy定理

數學敘述

G須由完整Cayley table認證為有限群，p須為質數且p整除|G|。結論是存在g使g^p=e且對每個1≤k<p皆有g^k≠e，故ord(g)=p。本輪完整有限枚舉只為指定model產生element-order witness，不取代一般定理證明；不得外推為每個合數d整除|G|就必有order-d元素。

代表公式（精確 TeX）

o(g)=p

成立條件

• 正向題族使用完整、封閉且通過結合律、單位元與逆元核對的有限Cayley table。
• 元素階以從1起的最小正整數冪回到identity定義，並完整核對所有較小正冪。

符號作用域

• o — 元素階
• g — 有限群元素
• p — 群階的質因數

直觀、定義與常見誤解

定理的量詞是每個prime divisor都至少有一個order-p witness。

order-p證書同時要求p次冪回到identity及所有較小正冪不回到identity。

finite table exhaustion只證給定群；一般Cauchy定理仍是定理層責任。

只找到g^p=e卻未排除較小階，或把prime divisor結論錯推到任意composite divisor。

已採用的推導導讀

原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。

前置知識

• 有限群的Lagrange定理 — 元素生成的循環子群階整除群階。
• 自然數質數 — p的質數資格。
• 有限群 — 完整群運算。
• 有限群作用 — 一般證明可使用群作用與軌道計數。

驗證界線

本輪不以有限模型取代一般證明，也不聲稱每個合數因子都是某元素的階。

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這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。

下一個義務

加入Sylow定理與有限群結構推論。

同源結構化資料

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