prime因子的exact-order witnesses

目標與範圍

此六元素群的prime divisors2、3分別有s與r的exact-order witnesses；無order6元素。

完整指定有限模型的元素階窮舉，不以此取代一般Cauchy證明。

已知條件與符號

• calc

• G1 — G={e,r,r²,s,rs,r²s}，依序編碼(0,0),(1,0),(2,0),(0,1),(1,1),(2,1)。乘法(i,j)(k,l)=(i+(−1)^j k mod3,j+l mod2)。

• G — 六元素群載體
• r,s — r³=e,s²=e,sr=r²s的labels
• p — prime divisor
• \operatorname{ord}(g) — 最小正identity回返冪

規則與來源

• calc · prerequisite — 假設精確模3、模2整數算術、有限集合外延相等與群／作用的定義；不預設此運算已為群。
• mko_definition · cited — G須由完整Cayley table認證為有限群，p須為質數且p整除|G|。結論是存在g使g^p=e且對每個1≤k<p皆有g^k≠e，故ord(g)=p。本輪完整有限枚舉只為指定model產生element-order witness，不取代一般定理證明；不得外推為每個合數d整除|G|就必有order-d元素。 · mko-cauchy-theorem-finite-groups

逐步主鏈

G=\{e,r,r^2,s,rs,r^2s\}

\begin{array}{c|cccccc}*&e&r&r^2&s&rs&r^2s\\\hline e&e&r&r^2&s&rs&r^2s\\r&r&r^2&e&rs&r^2s&s\\r^2&r^2&e&r&r^2s&s&rs\\s&s&r^2s&rs&e&r^2&r\\rs&rs&s&r^2s&r&e&r^2\\r^2s&r^2s&rs&s&r^2&r&e\\\end{array}

(i,j)(k,l)=(i+(-1)^jk,j+l)\quad(\bmod(3,2))

((i,j)(k,l))(m,n)=(i+(-1)^jk+(-1)^{j+l}m,j+l+n)=(i,j)((k,l)(m,n));\quad e=(0,0);\quad(i,j)^{-1}=(-(-1)^ji,j)

|G|=6

6=2\cdot3,\quad2,3\text{ prime},\quad2\mid6,3\mid6

p=2,\quad g=s

s^1=s\ne e,\quad s^2=e\Rightarrow\operatorname{ord}(s)=2

p=3,\quad g=r

r^1=r\ne e,\quad r^2\ne e,\quad r^3=e\Rightarrow\operatorname{ord}(r)=3

g=e,r,r^2,s,rs,r^2s

\operatorname{ord}(g)=1,3,3,2,2,2\text{ respectively}

6\mid|G|,\quad6\notin\{1,2,3\}

\nexists g\in G:\operatorname{ord}(g)=6

p\in\{2,3\}\text{ prime divisor of }6

\exists g\in G:\ g^p=e\text{ and }g^k\ne e\ (1\le k<p)

局部子步與引理

本稿無局部子步。

逐步反向審查

• S08 · premise_audit · G1, S03, S04, S05, S06, S07 — 一般每個有限群的定理仍需一般證明；此稿不把有限表代替。
• S07 · premise_audit · G1, S03, S06 — 這個不存在性由六元素完整窮舉成立，不是假借Cauchy converse。
• S06 · premise_audit · G1, S01, S02, S04, S05 — 每個元素都出現一次，非只測生成元r、s。
• S05 · premise_audit · G1, S01, S03 — 只寫r³=e不夠；e也滿足同式卻只有order1。
• S04 · premise_audit · G1, S01, S03 — s與e是不同table labels，排除了order1。
• S03 · premise_audit · G1, S01, S02 — 6也整除6但不是prime，不能把它當Cauchy的p。
• S02 · premise_audit · G1, S01 — 指數j+l只依mod2，因(−1)²=1，公式對所有代表一致；逆元清單e,r²,r,s,rs,r²s完整。
• S01 · premise_audit · G1 — labels依序綁定六個pair，故同名r²不代表額外第七元素。

錯誤控制與反例

同一群表

全部積、逆元與cosets綁定這個完整Cayley表。

完整枚舉

任何全稱有限性質都需全載體或全稱公式，不用proper sample。

• e^3=e故e有order3。 → reject — e^1=e，最小正回返是1。
• 6整除群階所以有order6元素。 → reject — 完整六項階表沒有6。
• 一個六元素例子已證一般Cauchy定理。 → reject — 只證指定model，所有群的全稱責任未被枚舉。

結論與限制

此六元素群的prime divisors2、3分別有s與r的exact-order witnesses；無order6元素。

驗證及來源綁定

2 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

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• Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

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