線性組合與生成

數學敘述

給實向量空間中的向量族，有限線性組合為有限個實係數加權和。該向量族的span是所有有限長度線性組合的集合，不包含未定義的無限級數。

代表公式（精確 TeX）

S(V)

成立條件

• 題庫使用固定維度整數座標向量與整數或精確有理係數。
• 每題只核明示有限生成族與候選witness；不以一個固定arity窮盡抽象span定義。

符號作用域

• S — 生成空間算子
• V — 有限生成族

直觀、定義與常見誤解

加權和要求所有向量維度一致且係數數量匹配。

給定係數可直接重建目標，形成membership witness。

R²兩個獨立生成向量可用非零行列式求唯一座標。

把無限和叫有限線性組合，或只看維度就宣稱某向量在span中。

已採用的推導導讀

原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。

前置知識

• 實向量空間 — 線性組合使用向量加法與實純量乘法。
• 二元聯立一次方程組與退化邊界 — 座標membership可化為線性方程。

驗證界線

只核有限座標witness；一般span仍量化所有有限組合。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。

下一個義務

加入線性獨立、基底與維度。

同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。