整數唯一質因數分解

數學敘述

existence以well-founded/induction與完整trial division小切片驗證；uniqueness保留Euclid lemma witness p|ab implies p|a or p|b，而非只比較少數答案。整數版分離negative sign，±1為units與empty product，0沒有此prime factorization。

代表公式（精確 TeX）

n=\prod_{i=1}^{r}p_i^{e_i}

成立條件

• 主定理域為正整數n>1。
• bounded computational companions完整搜尋到sqrt(remaining)並exact驗prime與product。

符號作用域

• p_i — 第 i 個質因數
• e_i — 第 i 個正整數指數
• p — 有序互異質因數族
• e — 正整數指數族
• i — 有限乘積的束縛索引
• r — 互異質因數個數
• n — 待分解正整數

直觀、定義與常見誤解

existence與uniqueness分開。

uniqueness比較prime multisets忽略order。

units、negative sign與zero需另分支。

記號對齊候選：主定理 n>1 時，r>=1，p_1<...<p_r 為互異質數且每個 e_i 為正整數；乘積涵蓋所有質因數，不限質數冪。原有 ±1 的單位／空乘積及 0 排除界線仍保留。此代表式不自行證明存在唯一性。

只找到一個分解便稱已證unique，或把0與units套入n>1版本。

已採用的推導導讀

原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。

前置知識

• 自然數質數 — prime factors。
• 自然數整除 — divisibility。
• 數學歸納法 — existence。
• Euclidean演算法 — Euclid lemma支撐。
• 最大公因數與互質 — prime divisibility。

驗證界線

trial division僅在完整bounded range時構成certificate。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。

下一個義務

加入p-adic valuation與Möbius function。

同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。