等式約束Lagrange乘數必要條件

數學敘述

考慮minimize f(x) subject to g_1(x)=...=g_m(x)=0。若x* feasible、f與g_i在鄰域可微，且rows grad g_i(x*)線性獨立（Jacobian full row rank），則local extremum必要地存在唯一lambda使grad f(x*)=J_g(x*)^T lambda；本條目固定這個正號convention。本輪exact slice用有理向量與rank elimination核regularity、stationarity residual，並完整解單一線性constraint下的squared-distance問題。此方程是必要非充分條件；rank deficient只表示本定理不適用，不表示無極值。它不等於含不等式的KKT，也不推出global optimum或unique primal point。

代表公式（精確 TeX）

L(f,g,x)=l

成立條件

• constraint gradients以rows依宣告順序排列；m不大於dimension且exact rational rank為m。
• stationarity先要求feasibility與regularity；本輪vector arithmetic使用exact rationals。
• single-constraint solved slice要求constraint gradient非零，objective是到center的squared distance。

符號作用域

• L — Lagrange乘數條件
• f — 目標函數
• g — 等式約束映射
• x — 正則可行點
• l — 乘數向量

直觀、定義與常見誤解

feasibility、differentiability與full-row-rank資格先行。

固定grad f=J_g^T lambda，避免符號與row/column convention漂移。

necessary stationarity不等於sufficient、KKT、global或unique。

解出lambda就宣稱最小值，或在constraint gradients相依時仍聲稱本regular theorem已證。

已採用的推導導讀

原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。

前置知識

• 梯度向量 — 目標與constraint gradients。
• 最佳化問題 — feasible local extremum。
• 二元聯立一次方程組與退化邊界 — multiplier linear system背景。
• 矩陣秩 — Jacobian full row rank。
• 線性獨立與基底 — constraint gradient regularity。

驗證界線

本輪不處理inequality KKT、second-order sufficient conditions或global optimality。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。

下一個義務

加入tangent-space proof、KKT constraint qualifications與second-order tests。

同源結構化資料

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