正則乘數與完整平方距離解

目標與範圍

minimize ‖x-(1,2)‖^2 subject to x_1+x_2=0，求點、乘數並獨立證最小。

固定正號 grad f=J_g^T lambda；一般乘數只必要，這個特定平方距離問題另有充分性證明。

已知條件與符號

• algebra
• polynomial
• lagrange_regular

• G1 — f(x_1,x_2)=(x_1-1)^2+(x_2-2)^2，g=x_1+x_2；J_g 的 rows 依唯一 constraint 排序。

• J_g — 依 constraint 排序的 row Jacobian
• \lambda — 正號 convention 乘數
• v — 任意可行點差

規則與來源

• mko_definition · cited — 來源語義轉述：可行局部極值在鄰域可微及約束 Jacobian 滿列秩時，必有唯一乘數使梯度等於約束梯度列的線性組合；這只是必要條件。 · mko-lagrange-multiplier-condition
• algebra · prerequisite — 實數域的等式運算；除法前分母必非零，不等式乘正數保持方向。
• polynomial · prerequisite — 多項式在實數上連續且可逐項微分；d(x^k)/dx=k x^(k-1)，常數導數為零。
• lagrange_regular · prerequisite — 若可行點為局部極值、f 與等式約束在鄰域可微、Jacobian rows 線性獨立，則存在唯一 lambda 使 grad f=J_g^T lambda；此為必要條件。

逐步主鏈

n=2,\quad m=1,\quad J_g=(1\ \ 1)

\operatorname{rank}J_g=1=m,\quad f,g\text{ differentiable on }\mathbb R^2

\nabla f=(2(x_1-1),2(x_2-2))

2(x_1-1)=\lambda,\quad2(x_2-2)=\lambda,\quad x_1+x_2=0

x_1=1+\lambda/2,\quad x_2=2+\lambda/2

3+\lambda=0\Longrightarrow\lambda=-3

\lambda=-3

x^*=(-1/2,1/2)

g(x^*)=-1/2+1/2

g(x^*)=0,\quad\nabla f(x^*)=(-3,-3)=J_g^T(-3)

z=(1,2),\quad x^*-z=(-3/2,-3/2)

f(x^*)=9/4+9/4=9/2

y=x^*+v\text{ feasible}\Longrightarrow v_1+v_2=0

f(y)=\|x^*-z\|^2+2(x^*-z)\cdot v+\|v\|^2=9/2+\|v\|^2\ge9/2

F(u,v)=u^3,\quad G(u,v)=v,\quad(u,v)=(0,0)

\nabla F=0=J_G^T\cdot0,\quad\operatorname{rank}J_G=1;\quad F(t,0)=t^3\text{ has both signs}

局部子步與引理

本稿無局部子步。

逐步反向審查

• S08 · premise_audit · G1 — 主平方距離例之最小已由 S07 獨立證；不與反例混淆。
• S07 · premise_audit · G1, S04, S06 — 充分與 global 證書來自此平方分解，不是一般 Lagrange 必要定理。
• S06 · premise_audit · G1, S04, S05 — 此數值本身不證最小。
• S05 · premise_audit · G1, S01, S04 — 不只解出 lambda 而漏掉 constraint。
• S04 · inverse_equivalence · S03 — 中心是 (1,2) 而不是原點。
• S03 · inverse_equivalence · S02 — 乘數解不等於所有一般問題都唯一 primal point。
• S02 · premise_audit · G1, S01, lagrange_regular — 正號 convention 固定，沒有偷偷換成 grad f+lambda grad g=0。
• S01 · premise_audit · G1 — m≤n 及 row/column convention 都已核。

錯誤控制與反例

regularity 先行

先核 feasibility、鄰域可微及 full row rank 才應用必要定理。

充分性另證

本 global minimum 由所有可行 y 的平方分解，不由 lambda 本身。

• 解出乘數必最小。 → reject — S08 正則 stationary 例不是極值。
• rank deficient 表示沒有極值。 → reject — 一維 g(x)=x^2=0 只有可行點 0，f(x)=x 在該集合仍達極值；g'(0)=0 只阻定理。
• 本等式條件等同含不等式的 KKT。 → reject — 沒有不等式乘數符號與 complementary slackness。

結論與限制

x*=(-1/2,1/2)、lambda=-3、最小平方距離 9/2；唯一 global 性另由正交平方分解證。

驗證及來源綁定

2 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

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