複合梯形數值積分

數學敘述

給定a=x_0<x_1<...<x_n=b及全部endpoint values y_i=f(x_i)，複合梯形值是sum_{i=1}^n (x_i-x_{i-1})(y_{i-1}+y_i)/2。本輪允許非均勻partition，逐段使用自己的寬度並以exact rationals計算；n個subintervals恰有n+1個nodes。Affine函數在任意合法partition上exact；二次多項式只做指定partition的exact reference integral與signed error I-T及absolute error，不外推一般二階誤差界或收斂階。sample table若未綁完整函數，只決定此quadrature sum，不決定一般積分。

代表公式（精確 TeX）

T(P,f)=q

成立條件

• nodes與values等長且至少兩項；nodes為嚴格遞增exact rationals。
• quadratic reference slice明示完整多項式，因此可獨立算exact definite integral。
• signed error固定為exact integral減trapezoid value，absolute error另列。

符號作用域

• T — 複合梯形算子
• P — 嚴格遞增partition
• f — 被積函數或端點值表
• q — 精確quadrature值

直觀、定義與常見誤解

partition資格與node/value arity先核。

非均勻subinterval各自保留寬度，不偷換成單一h。

affine exactness與指定quadratic誤差不構成一般誤差定理。

把n個nodes叫n個subintervals、對非均勻partition硬套單一h，或從線性exact推所有函數exact。

已採用的推導導讀

原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。

前置知識

• 有限區間上的多項式定積分 — reference integral與orientation。
• 數值近似與誤差 — signed及absolute error。
• 四則運算 — 逐段端點平均。
• 實數大小與順序 — partition嚴格遞增。
• 數列 — nodes與values是對齊有序序列。

驗證界線

未加入需要二階導數及supremum的通用誤差界，也不宣稱floating-point結果。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。

下一個義務

加入有明示smoothness與supremum bound的複合梯形誤差定理。

同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。