非均勻梯形值與帶符號誤差

目標與範圍

對 f(x)=x^2、nodes (0,1/2,2) 計算 T、I-T 與絕對誤差。

允許非均勻分割，完整二次函數給獨立積分；不證一般誤差界或收斂階。

已知條件與符號

• algebra
• polynomial
• trap_def
• integral_poly

• G1 — f(x)=x^2，[a,b]=[0,2]，nodes (0,1/2,2)，values (0,1/4,4)。

• T — 梯形近似值
• E=I-T — 固定符號誤差
• h_i — 每段自己的寬度

規則與來源

• mko_definition · cited — 來源語義轉述：合法非均勻分割的梯形值逐段以各自寬度乘端點值平均後加總；有限表不決定一般積分。 · mko-trapezoidal-quadrature
• algebra · prerequisite — 實數域的等式運算；除法前分母必非零，不等式乘正數保持方向。
• polynomial · prerequisite — 多項式在實數上連續且可逐項微分；d(x^k)/dx=k x^(k-1)，常數導數為零。
• trap_def · prerequisite — 複合梯形值為各段 (x_i-x_(i-1))*(y_(i-1)+y_i)/2 之和；nodes 嚴格遞增、端點值對齊，n 段有 n+1 nodes。
• integral_poly · prerequisite — 實多項式有限區間積分逐項以 x^(k+1)/(k+1) 原始函數計算。

逐步主鏈

0<1/2<2,\quad\#\text{nodes}=3

n=2,\quad\#\text{values}=3

(f(0),f(1/2),f(2))

(0,1/4,4)

h_1=x_1-x_0,\quad h_2=x_2-x_1

h_1=1/2,\quad h_2=3/2

T_1=\tfrac12\tfrac{0+1/4}{2},\quad T_2=\tfrac32\tfrac{1/4+4}{2}

T_1=1/16,\quad T_2=51/16

T=T_1+T_2

T=52/16=13/4

I=\int_0^2x^2\,dx

I=[x^3/3]_0^2=8/3

E=I-T=8/3-13/4

E=-7/12,\quad|E|=7/12

\ell(x)=mx+b,\quad u<v

\int_u^v\ell(x)\,dx=(v-u)\left(m\frac{u+v}{2}+b\right)=(v-u)\frac{\ell(u)+\ell(v)}2

局部子步與引理

本稿無局部子步。

逐步反向審查

• S08 · premise_audit · S03 — affine exactness 不是一般二階誤差界或收斂率。
• S07 · inverse_equivalence · S05, S06 — 負號表示本例梯形值偏大，不把負誤差當負誤差大小。
• S06 · premise_audit · G1 — 只給節點表時沒有這個完整 integrand 證書。
• S05 · inverse_equivalence · S04 — T 是 quadrature 值，不先稱 exact integral。
• S04 · premise_audit · S02, S03 — 中節點在兩段各參與一次，是公式本意。
• S03 · inverse_equivalence · G1, S01 — 兩寬相加等 2=b-a 作回查。
• S02 · inverse_equivalence · G1, S01 — 不是未綁函數的樣本表。
• S01 · premise_audit · G1 — 三個 nodes 不是三個 subintervals。

錯誤控制與反例

每段寬度

先獨立算每個 h_i 再乘端點平均。

誤差符號

固定 I-T，另列絕對值。

• 三個 nodes 有三段。 → reject — 只有兩對相鄰端點。
• 本非均勻分割可用同一 h。 → reject — 兩段分別 1/2、3/2。
• 給三個值就唯一決定積分。 → reject — 可加正倍數 x^2(x-1/2)^2(x-2)^2；節點值不變而積分增加。

結論與限制

T=13/4，I=8/3，I-T=-7/12、絕對誤差 7/12；affine 函數逐段 exact。

驗證及來源綁定

3 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

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• Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

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