Hausdorff空間中的緊緻集為閉集

數學敘述

對每個x∉K及每個y∈K，以Hausdorff性選不交open neighborhoods U_y含x與V_y含y；{V_y}覆蓋K，compactness給有限subcover。相應有限個U_y的交集是與K不交的open neighborhood of x，故X\K open。empty compact subset亦closed。Hausdorff假設不可刪；converse也不成立。

代表公式（精確 TeX）

C(K)=1

成立條件

• 精確題族使用完整有限carrier與完整topology，逐對核Hausdorff並逐集合核open-cover責任。
• finite-topology certificates只證明指定有限實例；一般定理邊界仍保留ambient Hausdorff與compact子集兩項假設。

符號作用域

• C — 閉集述詞
• K — 緊緻子集

直觀、定義與常見誤解

點對點分離先形成覆蓋K的neighborhood family。

compactness把可能無限的覆蓋縮成有限個，才能交疊x側open sets。

non-Hausdorff空間可有compact但非closed子集；closed也不必compact。

只用一對neighborhood就覆蓋整個K，或遺漏Hausdorff假設便宣稱所有compact subsets closed。

已採用的推導導讀

原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。

前置知識

• Hausdorff空間 — 不同點的互斥open neighborhoods。
• 緊緻子集 — open cover的有限subcover。
• 開集與閉集 — 補集open等價於closed。

驗證界線

有限模型核對不是一般證明替代品；逆命題及去除Hausdorff的版本均不成立。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。

下一個義務

加入compact Hausdorff與局部緊緻性。

同源結構化資料

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