開集與閉集

數學敘述

給定拓撲空間 (X,τ)，U⊆X 稱為開集當且僅當 U∈τ；C⊆X 稱為閉集當且僅當 X\C∈τ。開與閉不是互斥分類，∅ 與 X 永遠同時開且閉。

代表公式（精確 TeX）

C\setminus U

成立條件

• 底集合 X 與其拓撲 τ 已固定。
• 所有補集都相對於同一底集合 X；候選集合先確認為 X 的子集合。

符號作用域

• C — 候選閉集
• X — 底集合
• U — 候選開集

直觀、定義與常見誤解

閉集不是『不是開集』；集合可以只開、只閉、同時開閉，或兩者皆非。

任意開集聯集與有限開集交仍開；對偶地，任意閉集交與有限閉集聯集仍閉。有限模型可以完整列出開閉與 clopen 集。

補集對偶必須固定同一底集合。若偷偷改變 universe，開閉判定失去原拓撲語境。

把 closed 解讀成 not open，或忘記補集相對的底集合。

已採用的推導導讀

原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。

前置知識

• 拓撲空間 — 開集族由固定拓撲提供。
• 子集合 — 開閉候選都是底集合的子集合。
• 集合運算 — 閉集定義使用相對補集。

驗證界線

有限拓撲可完整枚舉開閉集；這不取代一般任意交／聯公理的形式證明。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。

下一個義務

綁定 Mathlib IsOpen、IsClosed、complement 與有限／任意閉集封閉定理。

同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。