拓撲空間

數學敘述

給定集合 X，X 上的拓撲是子集合族 τ⊆P(X)，滿足 ∅∈τ、X∈τ、τ 中任意子族的聯集仍在 τ，且 τ 中任意有限子族的交集仍在 τ；(X,τ) 稱為拓撲空間。

代表公式（精確 TeX）

T\subseteq P

成立條件

• 底集合 X 已固定；τ 的每個成員都是 X 的子集合。
• 任意聯集包含空族情形，有限交包含空族情形；空族交集按 X 解讀。

符號作用域

• T — 代表開集族 τ
• P — 代表底集合 X 的冪集 P(X)

直觀、定義與常見誤解

拓撲指定哪些子集合被稱為開集；它不先指定距離。離散拓撲把所有子集合都列為開集，不可分拓撲只包含空集與全空間。

有限底集合上可以完整枚舉候選子集合族並檢查三類封閉條件；只抽查幾組聯集或交集不足以證明候選族是拓撲。

同一底集合可帶不同拓撲。比較粗細時，τ₁⊆τ₂ 表示 τ₂ 較細；這是開集族的包含關係，不是底集合大小。

把任何子集合族都當成拓撲，或把只對兩兩聯集封閉誤當任意聯集封閉。

已採用的推導導讀

原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。

前置知識

• 集合 — 底集合與開集族都以集合語義表達。
• 集合運算 — 拓撲公理使用聯集、有限交集、空集與全空間。

驗證界線

有限底集合可由完整冪集枚舉精確核對；這不取代一般任意聯集公理的形式證明。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。

下一個義務

綁定 Mathlib TopologicalSpace 的 IsOpen、univ、二元交與 sUnion 公理，並建立有限枚舉語義橋。

同源結構化資料

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