開集與閉集：在四點拓撲中完整分類十六個子集

目標與範圍

設 X={1,2,3,4}，τ={∅,{1},{1,2},{3,4},{1,3,4},X}。先驗證 τ 是 X 上的拓撲，再列出全部閉集，並把 X 的十六個子集分成「既開又閉」「只開」「只閉」「既不開也不閉」四類；最後證明在任何拓撲空間中 ∅ 與 X 都既開又閉，以及兩個閉集的聯集仍是閉集。

在 MKO 範圍內工作：底集合 X 與拓撲 τ 固定（假設 a1），所有補集都相對同一個 X（假設 a2）。一般性結論只證明「∅ 與 X 永遠既開又閉」與「兩個閉集的聯集是閉集」；任意多個閉集之交的對偶敘述只說明不另證。不改動 canonical MKO 或英文 edition。

已知條件與符號

• set_operations_def
• set_extensionality
• subset_def
• finite_counting_basics
• nat_induction

• G1 — 底集合 X={1,2,3,4}（MKO 假設 a1）。
• G2 — 子集合族 τ={∅,{1},{1,2},{3,4},{1,3,4},X}，每個成員都是 X 的子集合。
• G3 — 所有補集都取相對於 X 的補集 X∖C，候選集合都先確認是 X 的子集合（MKO 假設 a2）。

• X — 底集合 {1,2,3,4}
• \tau — X 上的拓撲（開集族）
• \mathcal{C} — 閉集族 {C⊆X ∣ X∖C∈τ}
• X\setminus C — C 相對於 X 的補集
• \mathcal{P}(X) — X 的全部子集

規則與來源

• set_operations_def · prerequisite — 集合運算：x∈A∪B ⇔ x∈A 或 x∈B；x∈A∩B ⇔ x∈A 且 x∈B；x∈A∖B ⇔ x∈A 且 x∉B；在全集 U 中 Aᶜ=U∖A。
• set_extensionality · prerequisite — 集合相等：A=B 當且僅當 A⊆B 且 B⊆A，即兩者有相同元素。
• subset_def · prerequisite — 子集：A⊆B 表示 A 的每個元素都是 B 的元素，即 ∀x (x∈A⇒x∈B)。
• finite_counting_basics · prerequisite — 有限計數：互斥有限集合 A、B 有 |A∪B|=|A|+|B|；|A×B|=|A|·|B|；有限集之間存在雙射 ⇔ 元素個數相同。
• nat_induction · prerequisite — 數學歸納原理：對從 n₀ 起的命題族 P(n)，若 P(n₀) 成立，且對每個 n≥n₀ 都有 P(n)⇒P(n+1)，則所有 n≥n₀ 都有 P(n)。
• topology_def · prerequisite — 拓撲：X 上的開集族 τ 包含 ∅ 與 X，對任意聯集與有限交集封閉。
• def_unfold · prerequisite — 展開定義：把一個已定義的詞換成它的定義內容（或反向收回），命題的真假不變。
• de_morgan_logic · prerequisite — 邏輯的德摩根律：¬(P∧Q) ⇔ ¬P∨¬Q；¬(P∨Q) ⇔ ¬P∧¬Q。
• injective_surjective_def · prerequisite — 單射：f(a)=f(a′) ⇒ a=a′。滿射：每個 b∈B 都有 a∈A 使 f(a)=b。雙射：既單又滿，此時有唯一反函數 f⁻¹ 使 f⁻¹∘f=id_A、f∘f⁻¹=id_B。
• numeric_evaluation · prerequisite — 明確整數或有理數算式的精確求值；可以獨立重算。
• forall_intro · prerequisite — ∀引入（全稱推廣）：若某命題對一個「任意的」元素 x 證成，而證明沒有對 x 加任何額外假設，則它對論域中所有 x 成立。
• forall_elim · prerequisite — ∀消去（代入特例）：若 ∀x∈D, P(x) 成立且 a∈D，則 P(a) 成立。
• quantifier_negation · prerequisite — 量詞否定：¬(∀x, P(x)) 等價於 ∃x, ¬P(x)；¬(∃x, P(x)) 等價於 ∀x, ¬P(x)。
• iff_intro · prerequisite — 雙條件：P⇒Q 與 Q⇒P 都成立時，P⇔Q 成立；反之亦然。
• mko_open_closed_def · cited — 給定拓撲空間 (X,τ)，U⊆X 稱為開集當且僅當 U∈τ；C⊆X 稱為閉集當且僅當 X∖C∈τ。開與閉不是互斥分類，∅ 與 X 永遠同時開且閉。 · mko-open-closed-set
• mko_topological_space_def · cited — X 上的拓撲是子集合族 τ⊆P(X)，滿足 ∅∈τ、X∈τ、τ 中任意子族的聯集仍在 τ，且 τ 中任意有限子族的交集仍在 τ；空族的聯集是 ∅，空族的交集按 X 解讀。 · mko-topological-space
• L_finite_family · lemma — 設 τ 是 X 的有限子集合族。若 ∅∈τ 且 τ 對兩個成員的聯集封閉，則 τ 的每個子族的聯集都在 τ；若 X∈τ 且 τ 對兩個成員的交集封閉，則 τ 的每個子族的交集（空族的交集為 X）都在 τ。
• L_double_complement · lemma — 對每個 C⊆X，X∖(X∖C)=C。
• L_demorgan · lemma — 對 A,B⊆X，X∖(A∪B)=(X∖A)∩(X∖B)。

逐步主鏈

\tau=\{\varnothing,\{1\},\{1,2\},\{3,4\},\{1,3,4\},X\}

(X,\tau)\ \text{is a topological space}

C\subseteq X\ \text{closed}\iff X\setminus C\in\tau

C\ \text{closed}\iff C=X\setminus U\ \text{for some}\ U\in\tau

\{X\setminus U\mid U\in\tau\}

\mathcal{C}=\{X,\{2,3,4\},\{3,4\},\{1,2\},\{2\},\varnothing\}

\tau,\ \mathcal{C}

\tau\cap\mathcal{C}=\{\varnothing,\{1,2\},\{3,4\},X\}

\tau,\ \mathcal{C}

\tau\setminus\mathcal{C}=\{\{1\},\{1,3,4\}\}

\tau,\ \mathcal{C}

\mathcal{C}\setminus\tau=\{\{2\},\{2,3,4\}\}

|\mathcal{P}(X)|=2^4=16,\ |\tau\cup\mathcal{C}|=6+6-4=8

\mathcal{P}(X)\setminus(\tau\cup\mathcal{C})=\{\{3\},\{4\},\{1,3\},\{1,4\},\{2,3\},\{2,4\},\{1,2,3\},\{1,2,4\}\}

(Y,\sigma)\ \text{any topological space}

\varnothing\ \text{and}\ Y\ \text{are clopen in}\ (Y,\sigma)

C_1,C_2\in\mathcal{C}

X\setminus(C_1\cup C_2)=(X\setminus C_1)\cap(X\setminus C_2)\in\tau,\ \text{so}\ C_1\cup C_2\in\mathcal{C}

\{2\},\ \{3,4\}\in\mathcal{C}

\{2\}\cup\{3,4\}=\{2,3,4\}\in\mathcal{C},\quad X\setminus\{2,3,4\}=\{1\}=\{1,3,4\}\cap\{1,2\}

\text{claim:}\ C\ \text{closed}\iff C\notin\tau

\{1,2\}\in\tau\cap\mathcal{C},\ \{3\}\notin\tau\cup\mathcal{C}\ \Rightarrow\ \text{claim false in both directions}

局部子步與引理

F\subseteq\tau,\ |F|=k

\textstyle\bigcup F\in\tau\ \text{for every}\ k

F\subseteq\tau,\ |F|=k

\textstyle\bigcap F\in\tau\ \text{for every}\ k\ (\bigcap\varnothing=X)

U,V\in\tau

U\cup V\in\tau,\ U\cap V\in\tau

x\in X\setminus(X\setminus C)

x\in C

\{3\}

\{3\}\notin\tau,\ X\setminus\{3\}=\{1,2,4\}\notin\tau

x\in X\setminus(A\cup B)

x\in(X\setminus A)\cap(X\setminus B)

x\in(X\setminus A)\cap(X\setminus B)

x\in X\setminus(A\cup B);\ \text{hence}\ X\setminus(A\cup B)=(X\setminus A)\cap(X\setminus B)

逐步反向審查

• S11 · premise_audit · S04, S07.1, quantifier_negation — 此處要分別否定兩個方向，所以每個方向各給一個反例，兩者都由前面的具體計算提供；若只需否定整個全稱等價，任一方向的一個反例已足夠。
• S10 · premise_audit · S09, S03, forall_elim — 這是一般結論的一個實例與交叉核對，不能反過來證明一般結論。
• S09.2 · premise_audit · S09.1, set_extensionality, set_operations_def — 集合等式需要兩個方向的包含，都已證明。
• S09.1 · premise_audit · set_operations_def, de_morgan_logic — 此子步只證一個包含方向；另一方向在 S09.2。
• S09 · premise_audit · L_demorgan, mko_topological_space_def, mko_open_closed_def — 需要有限交集封閉；對無限多個閉集的聯集不宣稱成立（一般拓撲中可能不閉）。
• S08 · premise_audit · mko_topological_space_def, mko_open_closed_def, forall_intro — 只用到兩條拓撲公理與閉集定義；不宣稱其他集合也一定 clopen（例如 {1} 不是）。
• S07.1 · premise_audit · G2, mko_open_closed_def — 兩個判定都只用定義與 τ 的完整列表；補集在 X 中計算。
• S07 · premise_audit · S04, S05, S06, finite_counting_basics — 計數用到聯集的容斥（N2、N3、N4 可重算）。列出的八個集合都不在兩張表中，與計數一致。
• S06 · premise_audit · S03, G2 — 「不是開集」由與 τ 的六個成員逐一比對得到。
• S05 · premise_audit · S03, set_operations_def — 每個「不是閉集」都由補集不在 τ 這個具體檢查支持。
• S04 · premise_audit · G2, S03, set_operations_def — 交集需要兩張完整列表；結論是集合族的等式。
• S03 · premise_audit · S02, set_operations_def, L_double_complement — 需要 S02 的等價與 τ 的完整列表；每個補集都在 X 內計算。
• S02.1 · inverse_equivalence · set_operations_def, set_extensionality, de_morgan_logic — 每一步都是邏輯等價（De Morgan 與 x∈X 已知），所以雙向成立。若 C 不是 X 的子集，最後一步只得 x∈C∩X，公式失效。
• S02 · inverse_equivalence · L_double_complement, mko_open_closed_def — 兩個方向都已寫出理由，都只用到雙重補集與定義。補集必須相對同一個 X，否則雙重補集公式不成立。
• S01.3 · premise_audit · G2, set_operations_def — 四個非平凡成員兩兩配對共有 comb(4,2)=6 組，全部列出（N1），沒有遺漏。
• S01.2 · premise_audit · nat_induction, set_operations_def — 需要 X∈τ 作為空族交集的基底，與兩兩交集封閉。
• S01.1 · premise_audit · nat_induction, set_operations_def, finite_counting_basics — 歸納需要每個子族都有有限個成員，這來自 τ 有限。基底需要 ∅∈τ，不能省略空族。
• S01 · premise_audit · G2, L_finite_family, mko_topological_space_def — 需要 τ 有限、含 ∅ 與 X、以及 S01.3 的兩兩檢查。引理只在有限族時成立；無限族只對兩兩聯集封閉並不足夠（見錯誤控制三）。

錯誤控制與反例

閉不是「不開」

MKO 指出的誤解是把 closed 讀成 not open。本例中 {1,2} 同時開且閉，{3} 兩者皆非（S11）。判定閉集只能用定義：補集是否在 τ 中。

補集要相對同一個 X

若把 {1,2} 的補集錯算在 {1,2,3} 中，會得到 {3}∉τ 而誤判 {1,2} 不閉；正確的 X∖{1,2}={3,4}∈τ。若在 {1,2,3,4,5} 中取 {3,4} 的補集，得到 {1,2,5}，它甚至不是 X 的子集，與 τ 的比對失去意義（MKO 假設 a2）。

兩兩封閉只在有限族時足夠

S01 能只檢查兩兩聯集，是因為 τ 有限（L_finite_family）。反例：ℕ 的全部有限子集再加上 ℕ 本身，這個族含 ∅ 與 ℕ，對兩兩聯集與交集封閉，但所有 {2k} 的聯集是偶數集，它無限且不等於 ℕ，不在族中，所以不是拓撲。

• {3} 不是開集，所以 {3} 是閉集 → reject — X∖{3}={1,2,4}∉τ，所以 {3} 不是閉集；它既不開也不閉。
• {1,2} 是閉集，所以它不是開集 → reject — {1,2}∈τ，它同時開且閉。
• 在 {1,2,3,4,5} 中 {3,4} 的補集是 {1,2,5}∉τ，所以 {3,4} 不是閉集 → reject — 補集必須相對 X：X∖{3,4}={1,2}∈τ，{3,4} 是閉集。
• 閉集恰好是不在 τ 中的 10 個子集 → reject — 閉集只有 6 個（S03），其中 4 個也在 τ 中；不在 τ 中的 10 個子集裡有 8 個不是閉集。

結論與限制

τ 是 X={1,2,3,4} 上的拓撲；閉集族為 {X,{2,3,4},{3,4},{1,2},{2},∅}。十六個子集分為：既開又閉 ∅、{1,2}、{3,4}、X；只開 {1}、{1,3,4}；只閉 {2}、{2,3,4}；其餘八個既不開也不閉。一般地，∅ 與 X 在任何拓撲空間中都既開又閉，兩個閉集的聯集仍是閉集。

• MKO 第二段的對偶敘述「任意多個閉集之交仍閉」可由任意族的 De Morgan 定律推得；本稿只證明兩個閉集之聯集的情形，任意族情形未另寫子步。

驗證及來源綁定

4 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

• source commit: b28a5edbd46279b1db2a3f3f48bb3f447e18899f
• adopted source SHA-256: db4ff6acc8064d0f256eceeebb39a241b3986504cee1fd23ae8da1de54588f78
• original source SHA-256: db4ff6acc8064d0f256eceeebb39a241b3986504cee1fd23ae8da1de54588f78
• Lean: NOT_RUN · independent AI: NOT_MEASURED

同源完整 JSON（含公式、AST、反控制與修訂記錄）