模n乘法階

數學敘述

先核n≥2並normalize a mod n，gcd(a,n)=1。從k=1逐次建立完整power table到first return 1，禁止把任意return exponent當order。以完整residue enumeration計phi(n)，驗ord_n(a)|phi(n)。noncoprime與n<2時undefined；a≡1有order1，negative a先normalize。不自動宣稱order=phi、primitive root或混同additive order。

代表公式（精確 TeX）

M(a,n)=k

成立條件

• n與search範圍bounded exact integers。
• Euler theorem保證coprime case於phi(n)前回到1。

符號作用域

• M — 乘法階算子
• a — 整數剩餘類
• n — 模數
• k — 最小正回返指數

直觀、定義與常見誤解

normalize與coprime資格先行。

power table由k=1找到first return。

phi divisibility與undefined boundaries分開。

看到某次a^k=1就把k稱order，或對nonunit定義multiplicative order。

已採用的推導導讀

原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。

前置知識

• 模反元素 — unit qualification。
• 最大公因數與互質 — domain。
• 自然數整除 — order divides phi。
• Euler定理 — return bound。

驗證界線

不推出primitive root或order=phi。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。

下一個義務

加入primitive roots與cyclic unit groups。

同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。