第一個回到1的冪

目標與範圍

ord₈(−5)=ord₈(3)=2，φ(8)=4且2整除4，但order不等φ。

bounded modulus8的完整首回返與unit枚舉，另列undefined與order1。

已知條件與符號

• calc

• G1 — n=8，a=−5，使用乘法階的最小正回返定義。

• m — 最小正回返指數
• U_8 — 完整units

規則與來源

本稿部分規則文字經本輪讀者釐清，屬於改述而非逐字引文；被引用的原始來源內容及雜湊沒有改動。

• calc · prerequisite — 假設精確整數算術、帶餘除法、整除與gcd的定義；同餘等式始終綁定明示模數。
• mko_definition · cited — 先核n≥2並normalize a mod n，gcd(a,n)=1。從k=1逐次建立完整power table到first return 1，禁止把任意return exponent當order。以完整residue enumeration計phi(n)，驗ord_n(a)|phi(n)。noncoprime與n<2時undefined；a≡1有order1，negative a先normalize。不自動宣稱order=phi、primitive root或混同additive order。 · mko-multiplicative-order-mod-n

逐步主鏈

n=8,\quad a=-5

a\equiv3\pmod8,\quad\gcd(3,8)=1,\quad n\ge2

k=1

3^1\equiv3\not\equiv1\pmod8

k=2

3^2=9\equiv1\pmod8

3^1\ne1,\quad3^2=1\quad(\bmod8)

\operatorname{ord}_8(3)=2=\operatorname{ord}_8(-5)

k=1,2,3,4,5,6,7,8

\gcd(k,8)=1,2,1,4,1,2,1,8;\quad U_8=\{1,3,5,7\},\ \varphi(8)=4

m=\operatorname{ord}_n(a),\quad a^k\equiv1,\quad k=qm+r,\ 0\le r<m

1\equiv a^k\equiv(a^m)^qa^r\equiv a^r\Rightarrow r=0\Rightarrow m\mid k

m=2,\quad\varphi(8)=4

2\mid4,\quad2<4,\quad3^4\equiv1\pmod8

a\equiv1\pmod8;\quad a=2\text{ or }n=1

\operatorname{ord}_8(1)=1;\quad\operatorname{ord}_8(2),\ \operatorname{ord}_1(a)\text{ undefined here}

局部子步與引理

本稿無局部子步。

逐步反向審查

• S08 · premise_audit · G1, S01, S04, S07 — undefined不是order0，也不混用模8的加法階。
• S07 · premise_audit · G1, S03, S05, S06 — 本例不自動宣稱primitive root或最大階。
• S06 · premise_audit · G1, S04, S05 — q≥0且r=0可成立；若r>0會與首回返最小性矛盾。
• S05 · premise_audit · G1, S01 — 4只是unit個數，不必等於此base的最小回返。
• S04 · premise_audit · G1, S01, S02, S03 — 負base與3同類，order只依類。
• S03 · premise_audit · G1, S02 — 這裡完整較小指數集合只有{1}，無漏檢。
• S02 · premise_audit · G1, S01 — a⁰=1不能被誤報order0。
• S01 · premise_audit · G1 — 非unit不啟動此order搜尋。

錯誤控制與反例

首回返

從正指數1開始，列出到首個1前全部冪。

乘法非加法

模8加法下3的階是8，但乘法階2，運算不可混淆。

• ord₈(3)=4因3⁴≡1。 → reject — 3²已回返，4不是最小。
• 每個unit階都等於φ(n)。 → reject — 本例2<4。
• ord₈(2)=0。 → reject — 2不是unit，本稿定義undefined。

結論與限制

ord₈(−5)=ord₈(3)=2，φ(8)=4且2整除4，但order不等φ。

驗證及來源綁定

3 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

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• original source SHA-256: a7c2b4919c706f641010eca03abbb0ccf5ca4a241cd70ff96070b6ead7244523
• Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

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