實Hilbert空間

數學敘述

carrier、inner product、induced norm、induced metric與completeness certificate必須描述同一空間。本輪使用有限維R^n標準或正定矩陣內積的命名完備定理證書；抽樣Cauchy序列不足。

代表公式（精確 TeX）

H(V)

成立條件

• 明示有限維R^n與同一正定內積矩陣。
• 完備性使用有限維實內積空間定理；不從樣本推完備。

符號作用域

• H — 實Hilbert空間
• V — 同一實內積空間

直觀、定義與常見誤解

五個結構必須同一來源。

有限維R^n提供命名完備證書。

Hilbert不自動推出緊緻、可分或任意維性質。

混用不同norm與metric，或用有限序列樣本宣稱完備。

已採用的推導導讀

原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。

前置知識

• 實內積空間 — Hilbert先是內積空間。
• 內積誘導範數 — norm來自同一內積。
• 範數誘導度量 — metric來自同一norm。
• 完備度量空間 — 所有Cauchy序列在同一空間收斂。

驗證界線

只涵蓋明示有限維證書；不推出compactness、separability或無限維結果。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。

下一個義務

加入正交投影與Hilbert基底。

同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。