完備度量空間

數學敘述

度量空間(X,d)完備，若X內每個Cauchy序列都收斂到某個仍屬X的點。有限度量空間可由最小正距離證明：Cauchy尾段終將只能取同一點；抽樣若干序列不足以證一般完備性。

代表公式（精確 TeX）

C(X)

成立條件

• 有限證書使用完整有限度量表且至少一個點。
• 序列題只接受最終常值證書或明示非Cauchy反例；有限前綴不冒充全稱完備證明。

符號作用域

• X — 度量空間
• d — 度量
• x — 空間內序列

直觀、定義與常見誤解

完備性是空間性質，不是某一條序列的性質。

有限metric的最小正分離距離給全稱證書。

Cauchy但極限離開子空間可否證完備；本輪不以有限模擬取代該責任。

因測過幾條序列都收斂，或序列在ambient空間有極限，就宣稱子空間完備。

已採用的推導導讀

原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。

前置知識

• Cauchy序列 — 完備性量化所有Cauchy序列。
• 度量空間中的收斂 — 結論要求在同一空間內收斂。
• 度量空間 — 完整度量提供距離責任。

驗證界線

完整有限metric證書只證該有限空間；樣本序列不證一般空間完備。

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這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。

下一個義務

與範數誘導度量共同加入實Banach空間。

同源結構化資料

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