度量空間中的收斂

數學敘述

序列x_n在度量空間中收斂到x，若對每個epsilon>0存在N，使所有n≥N都有d(x_n,x)<epsilon。有限樣本尾段通過不足以證一般收斂；明示最終常值的無限序列則可給完整witness。

代表公式（精確 TeX）

L(x)

成立條件

• 題庫使用完整有限度量表。
• 有限序列題明示為bounded audit；最終常值模型明示prefix後所有項恆等於tail。

符號作用域

• L — 極限紀錄
• x — 候選極限

直觀、定義與常見誤解

開球使用嚴格d<epsilon。

有限尾段只能核已列索引，不足以證所有未來項。

最終常值序列對任意epsilon可取prefix長度作N；度量分離性給極限唯一。

從長但有限的尾段看似接近就斷言收斂。

已採用的推導導讀

原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。

前置知識

• 度量空間 — epsilon球與距離來自度量。
• 數列 — 收斂對自然數索引序列量化。
• 量詞與明示論域 — 定義保留forall epsilon exists N forall n責任。

驗證界線

只有明示最終常值模型提供完整無限witness。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。

下一個義務

加入Cauchy序列、完備性與連續映射。

同源結構化資料

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