Cauchy序列

數學敘述

序列(x_n)為Cauchy，若對每個epsilon>0存在N，使所有m,n>=N都有d(x_m,x_n)<epsilon。定義不先假設極限存在或位於空間內。

代表公式（精確 TeX）

C(x)

成立條件

• 有限列出的尾段只作bounded audit，不能證一般Cauchy。
• 完整證書限明示最終常值模型、倒數序列界，或一個精確反例族。

符號作用域

• C — Cauchy紀錄
• x — 序列

直觀、定義與常見誤解

Cauchy比較尾段中任兩項，不是只比較候選極限。

最終常值序列對任意epsilon有直接N。

交替正負常值可對每個N給相鄰反例。

長有限尾段很靠近就宣稱整個無限序列Cauchy。

已採用的推導導讀

原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。

前置知識

• 度量空間 — 兩項距離由度量給出。
• 數列 — Cauchy責任量化序列索引。
• 量詞與明示論域 — 保留forall epsilon exists N forall m,n責任。

驗證界線

有限尾段不作一般證明；只接受明示模量或反例族。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。

下一個義務

加入完備度量空間與Banach空間。

同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。