有限模型的期望值

數學敘述

對非空有限 S、歸一化非負權重 w_s 與實值隨機變數 X，定義 E[X]=Σ_(s∈S)w_s X(s)。在同一機率模型上 E[aX+b]=aE[X]+b、E[X+Y]=E[X]+E[Y]，不需假設 X、Y 獨立；常數 c 的期望為 c。

代表公式（精確 TeX）

E(X)

成立條件

• 權重非負且總和恰為一，隨機變數在同一個有限 S 上總定義。
• 本輪值與變換係數為整數、有理權重明示，使用精確有理數，不採樣估計。

符號作用域

• E — 有限期望運算
• X — 同一機率模型上的實值隨機變數

直觀、定義與常見誤解

先驗權重，再把每個結果的值乘其機率相加；不是把不同數值各算一次後取普通平均。期望可以為負，也不一定等於某個實際可能值。

仿射變換與同模型兩變數和可以逐點轉換後加權。線性期望不需要獨立性，不能因此推論乘積期望等於期望乘積。

本輪是有限已知機率模型的數學期望，不是實測樣本均值、長期收斂結果或統計估計精度。一般積分存在性及無限期望另列。

未給等可能就平均所有值，或以線性期望推論獨立或乘積公式。

已採用的推導導讀

原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。

前置知識

• 有限樣本空間的實值隨機變數 — 期望對指定隨機變數值做加權。
• 有限樣本空間上的機率 — 先固定非負、總和一的權重。

驗證界線

有限加權總和可精確核對；一般期望與可積性的形式 Evidence 未建立。

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這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。

下一個義務

綁定有限 sum 與積分 expectation 的可積性橋，保留線性性和共用模型前提。

同源結構化資料

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