瑕積分

數學敘述

一側無界積分int_a^infinity f由b→infinity的有限區間積分極限定義；本輪明示f(x)=scale/x^p於[lower,infinity)。兩側無界exact family明示f(x)=left_scale/|x|^p於x≤-1、f(x)=0於-1<x<1、f(x)=right_scale/x^p於x≥1，左右tails必須獨立收斂。內部奇點family在[c-1,c+1]明示左右piecewise powers並於c左右分拆，兩側皆收斂。不能只靠symmetric principal value；absolute convergence充分但非必要，有限cutoffs看似穩定不足以證收斂。

代表公式（精確 TeX）

I(f,a,b)=L(F,b)

成立條件

• 一側tail固定f(x)=scale/x^exponent於[lower,infinity)；兩側tail固定上述zero-middle piecewise integrand。
• 內部奇點固定於c，左側f(x)=left_scale*(c-x)^(-alpha_L)、右側f(x)=right_scale*(x-c)^(-alpha_R)，區間為[c-1,c+1]且0≤alpha_L,alpha_R<1。
• 所有one-sided limits與奇點左右責任分開記錄；principal value不冒充improper integral。

符號作用域

• I — 瑕積分紀錄
• f — 被積函數
• a — 下方cutoff
• b — 上方cutoff
• L — 極限算子
• F — 有限cutoff積分

直觀、定義與常見誤解

每個無界端或奇點都產生獨立one-sided convergence obligation。

兩側發散即使對稱抵銷也只有principal value。

finite truncation evidence不能量化所有更遠cutoffs。

把Cauchy principal value等同通常瑕積分，或因幾個large cutoffs接近就宣稱收斂。

已採用的推導導讀

原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。

前置知識

• 有限區間上的多項式定積分 — cutoff integrals。
• 去心實數論域的函數極限 — cutoff趨界或無窮的極限。
• 數列極限與精確尾界 — 離散cutoff近似的界線。
• 級數絕對收斂 — absolute convergence與comparison背景。

驗證界線

本輪exact計算限明示冪函數；一般integrability與comparison仍需另證。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。

下一個義務

加入標準常態分布與Lebesgue improper integrals。

同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。