協方差

數學敘述

給同一有限joint law上的X,Y，Cov(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y]。協方差對兩變數對稱，仿射變換滿足Cov(aX+b,cY+d)=ac Cov(X,Y)。

代表公式（精確 TeX）

Cov(X,Y)

成立條件

• 所有期望都從同一精確有限joint law計算。
• 非零協方差可否證獨立；零協方差一般不能證獨立。

符號作用域

• Cov — 協方差
• X — 第一變數
• Y — 第二變數

直觀、定義與常見誤解

先算EX、EY、EXY再相減。

交換X與Y不改協方差。

X取-1,0,1且Y=X²可給零協方差但依賴的有限反例。

看到Cov=0就宣稱獨立，或混用不同joint models的期望。

已採用的推導導讀

原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。

前置知識

• 有限聯合分布 — 協方差需要共同law。
• 有限模型的期望值 — 公式含三個期望。
• 有限機率模型的變異數 — 協方差與變異數共享中心化二階量。
• 有限樣本空間的實值隨機變數 — X與Y位於共同機率空間。

驗證界線

零協方差不作獨立證書。

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下一個義務

加入隨機變數獨立、條件期望與相關係數。

同源結構化資料

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