有限機率模型的變異數

數學敘述

令 μ=E[X]，對有限合法機率模型定義 V(X)=Var(X)=Σ_s w_s(X(s)−μ)²≥0。平移不改變變異數，Var(kX)=k²Var(X)；Var(X)=0 當且僅當 X 在所有正權重的基本結果上取同一個值。

代表公式（精確 TeX）

V(X)

成立條件

• 有限非空樣本空間、非負歸一化權重及實值總函數已明示。
• 使用機率分布變異數而非樣本估計；正權重 support 與全樣本空間須分開。

符號作用域

• V — 有限機率分布的變異數
• X — 實值隨機變數

直觀、定義與常見誤解

每個加權平方項非負；零權重項可以有不同值，仍不影響矩數。零變異數指幾乎處處常值，在本輪有限模型就是正權重支持上常值。

對 X+c 逐點平移後，平均也增加 c，偏差不變；對 kX 偏差乘 k，平方帶來 k²。k=0、負 k、單點支持都需保留。

本輪精確有理矩數不使用浮點差 E[X²]−E[X]² 的數值近似，不套 n−1 樣本分母，也不把 Var(X+Y) 無條件分拆成兩個變異數。標準差及一般協方差另有義務。

要求零變異數在零機率結果也同值，或混用樣本變異數／標準差。

已採用的推導導讀

原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。

前置知識

• 有限模型的期望值 — 變異數需先求期望。
• 自然數冪與主平方根 — 偏差平方與 k² 的語義。

驗證界線

有限中心矩數可精確重算；一般方差、幾乎處處等價及可積性尚未附形式 Evidence。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。

下一個義務

綁定有限 centered moment、正支持常值與 ProbabilityTheory.variance 的橋接。

同源結構化資料

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