實指數函數

數學敘述

完整coefficient law是a_n(x)=x^n/n!。coefficient ratio 1/(n+1)趨0，因此radius為infinity且對每個實x絕對收斂。Addition law需對所有degree使用二項式係數合併Cauchy product，且重排責任由絕對收斂支撐；單一declared degree只核一個係數。E(0)=1；E(x)E(-x)=1，且E(x/2)E(-x/2)=1先給E(x/2)非零，再由E(x)=E(x/2)^2推出嚴格正。有限partial sum不是E(x)，也不由本節點自動推出導數、log、ODE唯一性、injectivity或非零有理點的exact rational value。

代表公式（精確 TeX）

E(x)=S(x)

成立條件

• partial-sum題以exact rational x與BigInt/rational factorial arithmetic計算。
• addition-law certificate分開記錄binomial coefficient identity與absolute-convergence重排依據。

符號作用域

• E — 實指數函數
• x — 實數參數
• S — 絕對收斂冪級數

直觀、定義與常見誤解

series law與finite partial sum必須分開。

全域收斂由factorial tail控制。

addition、inverse與positivity使用完整series性質，不以數值近似取代。

把有限partial sum當exact exp，或只驗幾組x,y便宣稱addition law。

已採用的推導導讀

原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。

前置知識

• 無窮級數 — series定義。
• 實數 — argument domain。
• 函數映射 — 全實數函數。
• 數列極限與精確尾界 — partial sums。
• 冪級數收斂半徑 — radius infinity。
• 階乘 — n!係數。
• 級數絕對收斂 — Cauchy product與重排責任。
• 二項式定理 — addition-law係數合併。

驗證界線

本輪不物化log、微分方程、導數唯一性或超越性。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。

下一個義務

加入標準常態分布與實指數的微分性質。

同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。