兩點間的平均變化率

數學敘述

對已知兩個函數值 f(x0)=y0、f(x1)=y1 且 x0≠x1，兩點間平均變化率為 (y1−y0)/(x1−x0)。若 x0=x1，此商不具本條目資格，不以零或 0/0 代替。對 f(x)=mx+b，該商為 m；對 q(x)=a(x−h)²+k，該商為 a(x0+x1−2h)。

代表公式（精確 TeX）

\frac{b-a}{d-c}

成立條件

• 端點須為同一指定函數的合法輸入；直接兩點題只使用明示輸出值。
• 非資格題外，輸入差必須非零；題庫採整數端點與係數，答案規約為最簡正分母分數。
• 二次切片 a≠0；代表分式 a、b 是兩個輸出，c、d 是對應輸入，不與頂點式係數混用。

符號作用域

• a — 第一輸出 y0
• b — 第二輸出 y1
• c — 第一輸入 x0
• d — 第二輸入 x1

直觀、定義與常見誤解

端點順序同時反轉時，分子分母同換號，商不變；不能只反轉其中一對。負的輸入差仍可規約到正分母。

平均變化率描述兩個指定輸入之間的差比，不聲稱處處導數存在；即使二次式的商可化簡，也不把它當作某一端點的瞬時導數。

常數仿射式 m=0 在不同輸入上平均變化率為零。二次式中 k 平移輸出，於差中抵消；對稱端點可有零平均變化率，而函數並不是常數。

相同輸入也把差商填零，或把平均變化率直接叫導數。

已採用的推導導讀

原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。

前置知識

• 比與比例 — 非零分母比值的語義。
• 實值函數圖形 — 兩點來自同一指定函數。
• 仿射函數與一次函數 — 仿射式的平均變化率切片。
• 頂點式二次函數 — 二次切片先固定頂點式。

驗證界線

非零輸入差的有限精確差商可重算；導數、極限及一般變化率定理未新增形式 Evidence。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。

下一個義務

綁定固定版 slope API 並保留非零分母；Mathlib 對除零的全定義不能替代本教學資格前提。

同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。