兩點間的平均變化率：資格、端點對調、仿射與二次公式

目標與範圍

（一）已知某指定函數 f 的 f(2)=7、f(−4)=3：判定資格並求平均變化率，化為最簡正分母分數，並說明同時對調兩端點不改變結果。（二）證明 f(x)=mx+b 的平均變化率為 m，並以 ℓ(x)=−3x+7 在 −2 與 4 之間核對。（三）證明 q(x)=a(x−h)²+k（a≠0）的平均變化率為 a(x₀+x₁−2h)，以 q(x)=−2(x−3)²+5 在 1 與 4 之間核對；並以對稱端點、改變第二端點與相同輸入三個情形說明它不是導數，也不能對相同輸入填 0。

在 MKO 範圍內：兩端點是同一指定函數的合法輸入且 x₀≠x₁，整數端點與係數，答案化為最簡正分母分數（a1、a2），二次切片要求 a≠0（a3）。仿射與二次公式以代數恆等式對所有合格端點證明。本稿不定義、不計算導數，只說明平均變化率不是某一點的量；不改動 canonical MKO 或英文 edition。

已知條件與符號

• frac_rules
• distributive
• mul_inverse_nonzero
• neg_mul
• numeric_evaluation

• G1 — 定義（MKO）：對同一指定函數 f 的兩個合法輸入 x₀≠x₁，平均變化率 R=(f(x₁)−f(x₀))/(x₁−x₀)。x₀=x₁ 不符合資格，不以 0 或 0/0 代替。代表分式 (b−a)/(d−c) 中 a、b 是輸出 y₀、y₁，c、d 是輸入 x₀、x₁。
• G2 — 直接兩點題：指定函數 f 只給出 f(2)=7、f(−4)=3；取 x₀=2、x₁=−4。
• G3 — ℓ:ℝ→ℝ，ℓ(x)=−3x+7（m=−3、b=7）。
• G4 — q:ℝ→ℝ，q(x)=−2(x−3)²+5（a=−2≠0、h=3、k=5）。

• x_0,x_1 — 兩個輸入端點，x_0\neq x_1
• y_0=f(x_0),\ y_1=f(x_1) — 對應的輸出
• R(f;x_0,x_1)=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0} — 平均變化率
• \ell(x)=-3x+7 — 一次函數例子
• q(x)=-2(x-3)^2+5 — 二次函數例子

規則與來源

• frac_rules · prerequisite — 分數運算（分母皆非零）：a/c+b/c=(a+b)/c；(a/b)(c/d)=(ac)/(bd)；(a/b)/(c/d)=(ad)/(bc)（另需 c≠0）；a/b=(ak)/(bk)（k≠0）。
• distributive · prerequisite — 分配律：u(v+w)=uv+uw；配合乘法交換律也有 (v+w)u=vu+wu。
• mul_inverse_nonzero · prerequisite — 非零數的倒數：在 ℚ、ℝ、ℂ 中，若 u≠0，存在 1/u 使 u·(1/u)=1；對 u≠0 定義 v/u 為 v·(1/u)。u=0 時沒有倒數，v/0 不定義。
• neg_mul · prerequisite — 負號與乘法：(−u)v=−(uv)，(−u)(−v)=uv。
• numeric_evaluation · prerequisite — 明確整數或有理數算式的精確求值；可以獨立重算。
• def_intro · prerequisite — 引入定義：可為一個命題、式子或物件取名；之後名稱與被定義者可互相替換。
• add_inverse · prerequisite — 加法反元素：每個 u 都有 −u，使 u+(−u)=0；u−v 定義為 u+(−v)。
• add_comm · prerequisite — 加法交換律：u+v=v+u。
• mul_assoc · prerequisite — 乘法結合律：(uv)w=u(vw)。
• mul_one · prerequisite — 乘法單位元：1·u=u。
• mul_comm · prerequisite — 乘法交換律：uv=vu（在交換的數系中，例如 ℤ、ℚ、ℝ、ℂ）。
• quantifier_negation · prerequisite — 量詞否定：¬(∀x, P(x)) 等價於 ∃x, ¬P(x)；¬(∃x, P(x)) 等價於 ∀x, ¬P(x)。
• and_intro_elim · prerequisite — 合取：由 P 與 Q 得 P∧Q；由 P∧Q 可分別得 P 與 Q。
• mko_rate · cited — 對已知兩個函數值 f(x0)=y0、f(x1)=y1 且 x0≠x1，兩點間平均變化率為 (y1−y0)/(x1−x0)。若 x0=x1，此商不具本條目資格，不以零或 0/0 代替。對 f(x)=mx+b，該商為 m；對 q(x)=a(x−h)²+k，該商為 a(x0+x1−2h)。 · mko-rate-of-change
• diff_squares · prerequisite — 平方差：對所有實數 u、v，u²−v²=(u−v)(u+v)（由分配律展開右邊即得）。
• L_swap · lemma — 對 x₀≠x₁：(y₀−y₁)/(x₀−x₁)=(y₁−y₀)/(x₁−x₀)。
• L_linear_rate · lemma — 對 f(x)=mx+b 與 x₀≠x₁：(f(x₁)−f(x₀))/(x₁−x₀)=m。
• L_quad_rate · lemma — 對 q(x)=a(x−h)²+k 與 x₀≠x₁：(q(x₁)−q(x₀))/(x₁−x₀)=a(x₀+x₁−2h)。

逐步主鏈

f(x_0)=y_0,\ f(x_1)=y_1

R=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}\ \ \text{only if}\ x_0\neq x_1

x_0=2,\ x_1=-4

x_1-x_0=-6\neq0

R=\frac{3-7}{-4-2}

\frac{2}{3}

\frac{y_0-y_1}{x_0-x_1}=\frac{7-3}{2-(-4)}

\frac{4}{6}=\frac{2}{3}

\frac{(mx_1+b)-(mx_0+b)}{x_1-x_0}

m

\ell(-2)=13,\ \ell(4)=-5

\frac{-5-13}{4-(-2)}=\frac{-18}{6}=-3=m

\frac{q(x_1)-q(x_0)}{x_1-x_0}

a(x_0+x_1-2h)

q(1)=-3,\ q(4)=3

\frac{3-(-3)}{4-1}=\frac{6}{3}=2

a(x_0+x_1-2h)\ \text{at}\ a=-2,\ h=3,\ x_0=1,\ x_1=4

-2(1+4-6)=2

x_0=1,\ x_1=5=2h-1

R=-2(1+5-6)=0,\ \text{yet}\ q(3)=5\neq-3=q(1)

x_0=1,\ x_1=2

R=-2(1+2-6)=6\neq2

x_0=x_1=2

x_1-x_0=0:\ \text{ineligible, no value assigned}

\text{S02 to S12}

R=\tfrac23;\ R_{\ell}=m=-3;\ R_q=a(x_0+x_1-2h),\ R_q(1,4)=2;\ x_0=x_1\ \text{ineligible}

局部子步與引理

\frac{3-7}{-4-2}

\frac{-4}{-6}

\frac{-4}{-6}

\frac{4}{6}=\frac{2}{3}

\frac{y_0-y_1}{x_0-x_1}

\frac{-(y_1-y_0)}{-(x_1-x_0)}=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}

(mx_1+b)-(mx_0+b)

m(x_1-x_0)

\frac{m(x_1-x_0)}{x_1-x_0}

m

q(x_1)-q(x_0)

a\bigl[(x_1-h)^2-(x_0-h)^2\bigr]

(x_1-h)^2-(x_0-h)^2

(x_1-x_0)(x_0+x_1-2h)

\frac{a(x_1-x_0)(x_0+x_1-2h)}{x_1-x_0}

a(x_0+x_1-2h)

逐步反向審查

• S13 · sufficient_goal_reduction · S03, S04, S05, S06, S07, S09, S10, S11, S12, and_intro_elim — 目標 G 為 goal 的三部分；足夠條件 H 為各步結論的合取，皆已正向證成，H⇒G 只用合取引入。
• S12 · premise_audit · mko_rate, G1 — 資格條件本身就排除此情形；不宣稱任何極限或導數。
• S11 · premise_audit · S07, S09, numeric_evaluation — 只需兩個不同的值就證明它依賴第二端點；本稿不計算導數本身。
• S10 · premise_audit · S07, numeric_evaluation — 一個反例（q(3)≠q(1)）就足以否定「平均變化率為零 ⇒ 常數」。
• S09 · premise_audit · S07, numeric_evaluation — 公式由 S07 證明；兩種算法一致只是核對。
• S08 · premise_audit · mko_rate, numeric_evaluation — 資格 4≠1 成立；精確計算。
• S07.3 · inverse_equivalence · mul_inverse_nonzero — 約分可逆，前提 x₁−x₀≠0。
• S07.2 · inverse_equivalence · diff_squares, add_inverse — 平方差是恆等式，雙向成立。
• S07.1 · inverse_equivalence · distributive, add_inverse — 恆等式，雙向成立。
• S07 · inverse_equivalence · L_quad_rate — 引理由三個等式子步證成，雙向成立。
• S06 · premise_audit · S05, numeric_evaluation — 一般結論來自 S05；數值只是核對。
• S05.2 · inverse_equivalence · mul_inverse_nonzero — 乘以 (x₁−x₀) 與其倒數互逆，前提 x₁−x₀≠0。
• S05.1 · inverse_equivalence · distributive, add_inverse — 恆等式，雙向成立。
• S05 · inverse_equivalence · L_linear_rate — 引理是等式，雙向成立。
• S04.1 · inverse_equivalence · frac_rules, neg_mul — 兩條規則都是恆等式，前提只有分母非零。
• S04 · inverse_equivalence · L_swap — 引理是等式，雙向成立。
• S03.2 · inverse_equivalence · frac_rules — a/b=(ak)/(bk)（k≠0）雙向成立。
• S03.1 · inverse_equivalence · numeric_evaluation — 整數減法，可逆向核對。
• S03 · inverse_equivalence · frac_rules, numeric_evaluation — 每一步都是同一個有理數的不同寫法，雙向成立。
• S02 · premise_audit · S01, numeric_evaluation — 精確計算輸入差並與 0 比較。
• S01 · premise_audit · G1, mko_rate — 只是定義與資格條件；x₀=x₁ 時不定義任何值。

錯誤控制與反例

相同輸入不能填零

MKO 的誤解之一是相同輸入也把差商填 0。x₀=x₁=2 時分母為 0，商是 0/0，不是一個數；本條目規定此時不符合資格、不給值（S12）。

平均變化率不是導數

另一個誤解是把平均變化率直接叫導數。從 x₀=1 出發，到 x₁=4 得 2、到 x₁=2 得 6（S11），所以它不是只屬於一點的量；對稱端點 1、5 得 0 而 q 非常數（S10）。它是有限的端點商，沒有取極限。

端點要成對一起對調

(q(4)−q(1))/(1−4)=6/(−3)=−2 是錯的：只把分母的次序反過來，分子沒有一起反轉。兩者同時反轉才保持商不變（S04）。

• x₀=x₁=2 時，q 的平均變化率是 0 → reject — 分母為 0，不符合資格；0/0 不是數，不能以 0 代替。
• (q(4)−q(1))/(1−4)=−2 是 1 與 4 之間的平均變化率 → reject — 只反轉了分母；正確為 (q(4)−q(1))/(4−1)=2。
• q 在 1 與 5 之間平均變化率為 0，所以 q 在 [1,5] 上是常數 → reject — q(3)=5≠−3=q(1)。
• 只由 1 到 4 的平均變化率等於 2，未提供任何導數定義或極限證書，就已證明 q 在 x=1 的導數為 2 → reject — 本稿只算出指定兩端點的有限商；改成 x₁=2 時得到 6。這不足以作為某點導數值的證書，因此拒絕上述推論。本稿沒有計算 q′(1)，也不以「兩種程序不同」單獨證明其數值不等；仿射函數的平均變化率與導數值甚至可能相同。

結論與限制

f(2)=7、f(−4)=3 時平均變化率為 (3−7)/(−4−2)=2/3，同時對調兩端點不變。f(x)=mx+b 在任意 x₀≠x₁ 之間的平均變化率為 m（ℓ 的例子為 −3）。q(x)=a(x−h)²+k 的平均變化率為 a(x₀+x₁−2h)；q(x)=−2(x−3)²+5 在 1 與 4 之間為 2，在對稱端點 1 與 5 之間為 0（而 q 非常數），在 1 與 2 之間為 6，所以它依賴兩端點、不是導數。x₀=x₁ 不符合資格，不給值，也不填 0。

• 本稿不定義也不計算導數，只證明平均變化率依賴兩端點；與導數的關係需另行處理。
• G2 的 f 只透過兩個輸出值給出，本稿沒有使用 f 的其他任何資訊。

驗證及來源綁定

21 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

• source commit: b28a5edbd46279b1db2a3f3f48bb3f447e18899f
• adopted source SHA-256: 9fc30d6fb2c4750764240925dfd0912b58ac51b42cb81e261c6e4f836b55fb55
• original source SHA-256: c2b90bff75e0c55cc21b498fdb786490c14ae05bee992190158da4a7dd811bad
• Lean: NOT_RUN · independent AI: NOT_MEASURED

同源完整 JSON（含公式、AST、反控制與修訂記錄）