實二階方陣的特徵值與非零特徵向量

數學敘述

對2×2實矩陣 M，實數 λ 是特徵值當且僅當存在非零 v∈R² 使 Mv=λv。本輪採非零特徵向量慣例；候選 λ 的核 Kλ={v:Mv=λv} 仍包含零向量，即使 λ 並非特徵值。互異實特徵值是 λ²−tr(M)λ+det(M)=0 的互異實根。

代表公式（精確 TeX）

E(M)

成立條件

• 全程在實數域與二階方陣，不聲稱每個實矩陣都有實特徵值。
• 候選 eigenpair 題允許零向量輸入，但答案須否；kernel membership 題則允許並接受零向量。
• 判別式 Δ=tr(M)²−4det(M) 為負、零、正時，互異實特徵值數分別為0、1、2；不把重根按代數重數算兩個。

符號作用域

• E — 本輪實特徵值摘要
• M — 2×2實方陣

直觀、定義與常見誤解

Mv=λv 對 v=0 自動成立，不能用它讓每個 λ 都成為特徵值。非零向量條件與核會員條件須分開。

對角矩陣 diag(a,d) 的互異實特徵值集合是 {a,d}；a=d 時只列一次。這不聲稱重數、特徵基底或 Jordan 結構已建立。

對一般實二階矩陣只精確算判別式與互異根數；正判別式可以不是完全平方，仍有兩個互異實根，無須用浮點值輸出根。本輪不做一般對角化或複數譜。

把零向量當特徵向量、把核中有零向量當成特徵值存在，或把二重根算成兩個互異值。

已採用的推導導讀

原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。

前置知識

• 矩陣表示的實平面線性映射 — Mv 的線性模型。
• 實二階方陣的行列式 — 特徵多項式的常數係數。
• 一元實二次方程式 — 互異實根與判別式切片。

驗證界線

實二階整數切片可重算；一般譜、對角化、代數重數及特徵空間理論仍未附形式 Evidence。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。

下一個義務

依固定版 Module.End.HasEigenvector／eigenspace 綁定非零條件及2×2特徵多項式橋；保留實根論域。

同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。