凸函數

數學敘述

在凸定義域C上，f為凸若對所有x,y∈C及lambda∈[0,1]，f(lambda x+(1-lambda)y)≤lambda f(x)+(1-lambda)f(y)。本輪用區間與一元仿射／二次函數的完整代數證書。

代表公式（精確 TeX）

J(f)

成立條件

• 定義域為明示非空實區間；二次函數係數與Jensen實例均精確表示。
• 單一Jensen違反足以否證；單一通過實例不能證凸，正證書需覆蓋全部x、y、lambda。

符號作用域

• J — Jensen凸性紀錄
• f — 實值函數

直觀、定義與常見誤解

仿射函數對所有Jensen組合取等號。

二次函數的Jensen gap可化為a lambda(1-lambda)(x-y)²。

有限實例只負責給反例或例示，不能替代全稱證書。

定義域非凸仍談一般凸函數，或由幾個Jensen樣本通過宣稱全域凸。

已採用的推導導讀

原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。

前置知識

• 凸集合 — 函數凸性先要求定義域凸。
• 函數映射 — 函數在定義域上須為總映射。
• 實數大小與順序 — Jensen條件使用不等式比較。

驗證界線

只核一元區間上的仿射／二次代數證書。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。

下一個義務

加入嚴格凸、次梯度與高維凸函數。

同源結構化資料

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