一致極限保持連續

數學敘述

在共同domain上，每個f_n連續且sup_x |f_n(x)-f(x)|→0。題族用[0,1]上的affine perturbation、exact sup error與epsilon-N證書重算，並以epsilon/3 transfer把一個固定f_N的continuity傳給f。pointwise-only的x^n、uniform收斂到discontinuous limit但各項不連續、以及有限sample closeness都明示為失敗邊界。

代表公式（精確 TeX）

U(F,f,e)=b

成立條件

• 全部函數共享明示domain與codomain。
• uniform convergence的N只依epsilon，不依x；每個approximant的continuity另行成立。

符號作用域

• U — 一致極限定理算子
• F — 連續函數列
• f — 一致極限函數
• e — 正容許誤差
• b — 連續性結論

直觀、定義與常見誤解

sup error與epsilon-N量詞先於結論。

epsilon/3 transfer固定一個continuous approximant，不要求共同delta。

pointwise convergence與finite samples皆不足。

把逐點收斂或有限網格接近當成一致收斂，或漏掉每個f_n連續。

已採用的推導導讀

原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。

前置知識

• 函數列一致收斂 — 核心收斂假設。
• 實函數的點值與連續 — 逐項與極限結論。
• 函數映射 — 共同domain/codomain。
• 上確界與下確界 — 整個domain上的sup error。

驗證界線

affine exact families只核量詞與bound；一般拓撲／度量版本仍需證明。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。

下一個義務

加入uniform convergence下積分交換與導數交換的額外條件。

同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。