固定一個近似函數的 epsilon/3 傳遞

目標與範圍

對 [0,1] 上的仿射擾動證一致收斂，並逐步傳遞連續性。

共同域與完整 sup 誤差；只固定一個 f_N，不要求全族共用 delta。

已知條件與符號

• algebra
• polynomial
• epsilon
• continuity_def

• G1 — f_n(x)=2x+1+(3x-1)/(n+1)，n≥0，x∈[0,1]；f(x)=2x+1。

• N — 共同近似索引
• \delta — 固定 f_N 的連續半徑
• L_N — 仿射斜率

規則與來源

本稿部分規則文字經本輪讀者釐清，屬於改述而非逐字引文；被引用的原始來源內容及雜湊沒有改動。

• mko_definition · cited — 在共同domain上，每個f_n連續且sup_x |f_n(x)-f(x)|→0。題族用[0,1]上的affine perturbation、exact sup error與epsilon-N證書重算，並以epsilon/3 transfer把一個固定f_N的continuity傳給f。pointwise-only的x^n、uniform收斂到discontinuous limit但各項不連續、以及有限sample closeness都明示為失敗邊界。 · mko-uniform-limit-continuity-theorem
• algebra · prerequisite — 實數域的等式運算；除法前分母必非零，不等式乘正數保持方向。
• polynomial · prerequisite — 多項式在實數上連續且可逐項微分；d(x^k)/dx=k x^(k-1)，常數導數為零。
• epsilon · prerequisite — 收斂表示每個正 epsilon 有一個整數 N，使全部 n≥N 的誤差嚴格小於 epsilon；使用實數 Archimedean 性。
• continuity_def · prerequisite — 在共同域，f 於 x_0 連續指每個正 epsilon 有正 delta 控制全部域內 |x-x_0|<delta 的 |f(x)-f(x_0)|<epsilon。

逐步主鏈

f_n(x)=(2+3/(n+1))x+1-1/(n+1)

f_n\text{ continuous on }[0,1]\quad\forall n\ge0

0\le x\le1

-1\le3x-1\le2,\quad\sup_{[0,1]}|f_n-f|=2/(n+1)

\varepsilon>0,\quad N=\lfloor6/\varepsilon\rfloor+1

\sup_{x\in[0,1]}|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon/3\quad(n\ge N)

x_0\in[0,1],\quad L_N=2+3/(N+1)>0

\delta=\varepsilon/(3L_N)>0

x\in[0,1],\quad|x-x_0|<\delta

|f_N(x)-f_N(x_0)|=L_N|x-x_0|<\varepsilon/3

|f(x)-f(x_0)|\le|f(x)-f_N(x)|+|f_N(x)-f_N(x_0)|+|f_N(x_0)-f(x_0)|

|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon/3+\varepsilon/3+\varepsilon/3=\varepsilon

x_0\in[0,1]\text{ arbitrary},\quad\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0

f\text{ continuous on }[0,1]

u_n(x)=x^n\ (n\ge1),\quad u(x)=0\ (x<1),\ u(1)=1

u_n\to u\text{ pointwise but }|u_n(2^{-1/n})-u(2^{-1/n})|=1/2

局部子步與引理

本稿無局部子步。

逐步反向審查

• S08 · premise_audit · G1 — 點可依 n 以否定 sup 控制，並非只核一個固定點。
• S07 · premise_audit · S04, S06, continuity_def — 未要求所有 f_n 共用一個 delta。
• S06 · premise_audit · S03, S05 — 兩端的近似誤差都需要同一 N 對全部 x 有效。
• S05 · premise_audit · S01, S04 — 端點也使用相對域中的 x，不需越出 [0,1]。
• S04 · premise_audit · G1, S03 — N 已固定才取 delta，delta 可依 N 與 epsilon。
• S03 · premise_audit · S02 — 不是先固定 x 再選 N。
• S02 · premise_audit · G1 — 不把有限網格最大值當完整區間 sup。
• S01 · premise_audit · G1 — 一致收斂本身不能替代這項前提。

錯誤控制與反例

量詞順序

先選與 x 無關的 N，再固定 f_N 取 delta。

三段誤差

兩個一致近似誤差與中間連續誤差缺一不可。

• 逐點極限總是連續。 → reject — x^n 的極限在 1 不連續。
• 一致收斂不需各項連續也保極限連續。 → reject — 同一不連續函數的常值函數序列誤差恆零，極限仍不連續。
• 要所有 f_n 用同一 delta 才能證定理。 → reject — S04-S06 只固定一個 f_N 已足夠。

結論與限制

精確 sup=2/(n+1) 證一致收斂；epsilon/3 傳遞證極限連續，沒有共用 delta 的要求。

驗證及來源綁定

1 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

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• adopted source SHA-256: 5b91758154756c5c6299fe5034cdb6883620b334d25e460b7f132e304c588e23
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• Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

同源完整 JSON（含公式、AST、反控制與修訂記錄）