實函數在一點的導數與差商

數學敘述

對f:R→R，f在x的導數是lim_(h→0,h≠0)(f(x+h)−f(x))/h，若此兩側有限極限存在。本輪仿射及二次以下多項式的精確導數，以及 |t−c| 在t=c左右導數不同、導數不存在的邊界。

代表公式（精確 TeX）

D(f,x)

成立條件

• 全實數論域、中心點值及兩側鄰域均合法；有限步h須非零。
• f(t)=a2*t²+a1*t+a0允許a2=0，指二次以下多項式，不能在這時仍宣稱二次函數的非零係數資格。
• 此多項式導數為2a2*x+a1；有限差商為該值+a2*h。|t−c|在t>c為1、t<c為−1，t=c不存在，不填0。

符號作用域

• D — 實函數在指定點的導數
• f — 指定實數總函數
• x — 導數中心點

直觀、定義與常見誤解

f(x)是中心值，h=0時不能直接把分母清零求差商。先處理h≠0的代數式，再看其極限是否存在。

對二次以下式，有限差商與導數可相差a2*h；同一模型的特殊有限步剛好相等，不把一般有限差商都升格為導數。常數與仿射是合法低階邊界。

在絕對值中心，h>0與h<0的差商分別為1與−1，所以沒有兩側導數。形式庫可能把deriv設為全定義並在無導數時填預設值；本條目的存在性判定不能因此填0。

有限差商直接叫導數、步h=0照算，或在尖點以全定義API的預設0冒充導數。

已採用的推導導讀

原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。

前置知識

• 去心實數論域的函數極限 — 非零步差商的兩側極限。
• 兩點間的平均變化率 — 有限差商不是瞬時導數。
• 一元有理係數多項式 — 二次以下係數模型。
• 絕對值 — 尖點的兩側仿射分段。

驗證界線

已宣告模型的精確代數與尖點判定可核對；一般微分及形式導數 Evidence未新增。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。

下一個義務

綁定 HasDerivAt及nonzero slope limit，保留存在性與totalized deriv的差異。

同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。