偏誤－變異數分解

數學敘述

每個theta須給完整finite sampling law，主端分別直接計算mean、bias=E_theta[T]-theta、variance=E_theta[(T-E_theta[T])^2]與MSE=E_theta[(T-theta)^2]。展開T-theta=(T-E[T])+bias後，cross term以E[T-E[T]]=0消失，得到MSE=variance+bias^2。多theta逐law核對。unbiased只推出MSE=variance，不推出zero MSE或consistency；單一observed squared error不是MSE。

代表公式（精確 TeX）

M(T,t)=V(T,t)+B(T,t)^2

成立條件

• theta、support與probabilities皆為exact rationals，law完整且正規化。
• 本輪限scalar estimator與finite sampling law。

符號作用域

• M — 均方誤差
• T — 純量估計量
• t — 目標參數
• V — 估計量變異數
• B — 估計量偏誤

直觀、定義與常見誤解

四個量由同一完整law獨立計算。

cross term消失需明示centering identity。

biased與unbiased界線不等於zero error。

把單一sample error當MSE，或把unbiased誤解成沒有變異。

已採用的推導導讀

原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。

前置知識

• 估計量均方誤差 — MSE逐theta定義。
• 估計量偏誤 — bias定義。
• 估計量變異數 — variance定義。

驗證界線

每個theta需獨立核對；不由有限表推出consistency或asymptotic optimality。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。

下一個義務

加入有限模型風險與估計量比較。

同源結構化資料

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