商拓撲

數學敘述

finite models先驗q為total surjection並完整列出fibers。定義tau_q={U⊆Y:q^{-1}(U)∈tau_X}，直接枚舉並驗拓撲公理、q的連續性與final-property：h:Y→Z連續當且僅當h∘q連續。只有saturated open subsets of X能作商開集的完整逆像；直接取open images一般錯誤。對任何total map（含非滿射），上述完整逆像的「當且僅當」條件仍唯一決定Y上的final topology；只有要求q連續則通常不唯一。未被命中的點不妨礙preimage-iff定義，但依此節點採用的慣例，非滿射q不稱為quotient map。

代表公式（精確 TeX）

Q(X,q,Y)=t

成立條件

• X、Y finite unique carriers，q為明示total surjection。
• 逆像、fiber、saturation與finite topology均完整枚舉。

符號作用域

• Q — 商拓撲算子
• X — 來源拓撲空間
• q — 滿射商映射
• Y — 商carrier
• t — 商拓撲

直觀、定義與常見誤解

作為此處的quotient map先核total surjection與fibers；一般total map的final topology仍由preimage-iff定義。

opens由完整逆像條件定義，不是任意open image。

finite final-property audit不取代一般證明。

把q的open images直接當商拓撲，或把僅要求連續誤當成完整preimage-iff條件。非滿射仍可由preimage-iff唯一決定final topology，但依此處滿射慣例不稱quotient map。

已採用的推導導讀

原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。

前置知識

• 拓撲空間 — 來源與商拓撲公理。
• 商集 — fibers與等價類。
• 滿射與陪域覆蓋 — quotient-map carrier責任。
• 拓撲連續映射 — q與final property。
• 函數合成 — h與h∘q的final continuity criterion。

驗證界線

finite table只證指定quotient；Hausdorff等分離性不自動保留。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。

下一個義務

加入identification spaces與quotient separation條件。

同源結構化資料

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