完整逆像條件決定商拓撲

目標與範圍

由三點到兩點的滿射計算商拓撲與開像失敗。

本例採 total surjection 的商映射慣例；一般 total map 的 final topology 仍唯一。

已知條件與符號

• sets
• topology
• definition_here

• G1 — X={a,b,c}, tau_X={空集,{a},X}; Y={u,v}; q(a)=q(c)=u,q(b)=v。

• q — 滿射商映射
• \tau_q — 逆像定義的商拓撲

規則與來源

• mko_definition · cited — finite models先驗q為total surjection並完整列出fibers。定義tau_q={U⊆Y:q^{-1}(U)∈tau_X}，直接枚舉並驗拓撲公理、q的連續性與final-property：h:Y→Z連續當且僅當h∘q連續。只有saturated open subsets of X能作商開集的完整逆像；直接取open images一般錯誤。對任何total map（含非滿射），上述完整逆像的「當且僅當」條件仍唯一決定Y上的final topology；只有要求q連續則通常不唯一。未被命中的點不妨礙preimage-iff定義，但依此節點採用的慣例，非滿射q不稱為quotient map。 · mko-quotient-topology
• sets · prerequisite — 集合的聯、交、補集、包含與函數逆像以逐元素定義計算。
• topology · prerequisite — 拓撲含空集與全集，對任意聯及有限交封閉；有限集合族可完整核對。
• definition_here · prerequisite — 滿射 total q 的商拓撲以 U 開 iff q^{-1}(U) 開定義；連續性只要求正向開集逆像條件；fiber 是單點逆像。

逐步主鏈

\varnothing\subset\{a\}\subset X

\tau_X\text{ is a topology}

q:X\to Y

q^{-1}(\{u\})=\{a,c\},\quad q^{-1}(\{v\})=\{b\}

U\subseteq Y

U\in\{\varnothing,\{u\},\{v\},Y\}

q^{-1}(\varnothing),q^{-1}(\{u\}),q^{-1}(\{v\}),q^{-1}(Y)

\varnothing,\{a,c\},\{b\},X

\tau_q=\{U\subseteq Y:q^{-1}(U)\in\tau_X\}

\tau_q=\{\varnothing,Y\}\text{ is a topology, and }q\text{ continuous}

O=\{a\}\in\tau_X

q(O)=\{u\}\notin\tau_q,\quad q^{-1}(q(O))=\{a,c\}\ne O

W\text{ open in }Z,\quad(q\text{ then }h)^{-1}(W)=q^{-1}(h^{-1}(W))

h^{-1}(W)\in\tau_q\iff q^{-1}(h^{-1}(W))\in\tau_X

\forall W\in\tau_Z\text{ the preceding iff holds}

h\text{ continuous}\iff h\circ q\text{ continuous}

局部子步與引理

本稿無局部子步。

逐步反向審查

• S08 · inverse_equivalence · S07, definition_here — 非滿射不符合本節 quotient map 命名慣例，但不是 final topology 不唯一。
• S07 · inverse_equivalence · S05 — 需要逐 W 的 iff，不是僅 q 連續的單向條件。
• S06 · premise_audit · G1, S02, S05 — 沒有把任意開像拿來替代商開集定義。
• S05 · premise_audit · S04 — 連續性是完整 iff 定義的後果，不能反過來僅由連續性唯一決定。
• S04 · inverse_equivalence · G1, S02, S03 — 完整母拓撲排除 {a,c} 與 {b}。
• S03 · premise_audit · S02 — 此清單完整，沒有以供給樣本取代。
• S02 · premise_audit · G1 — 商慣例所需滿射已另核，並非從連續性取得。
• S01 · premise_audit · G1 — 未假設所有單點開。

錯誤控制與反例

飽和性

開像不等於商開；先測完整 fiber 聯的逆像。

定義強度

完整 iff 與只要求連續明確分開。

• q({a}) 必開。 → reject — 其完整逆像 {a,c} 不開。
• 只要求 q 連續即唯一決定目標拓撲。 → reject — 例如離散兩點來源的恆等 q 對多種目標拓撲皆連續。
• 非滿射使完整逆像 iff 不能唯一決定 final topology。 → reject — 該 iff 對每個目標子集直接判開性，未命中點也不破壞唯一性。

結論與限制

商拓撲為 {空集,Y}；{a} 的開像不是商開集。

驗證及來源綁定

0 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

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