座標矩形與單位格的面積

數學敘述

在等單位正交座標系，半開矩形 [x0,x1)×[y0,y1)（x0≤x1、y0≤y1）面積為 (x1−x0)(y1−y0)。任一邊長零時矩形為空、面積零。整數單位格 [i,i+1)×[j,j+1) 面積一，有限聯集面積為不同格子的個數；兩矩形聯集面積為各面積和減交集面積。

代表公式（精確 TeX）

A(w,h)

成立條件

• 題庫採非負整數邊長或有序整數端點；半開端點及同單位框架須明示。
• 兩矩形交集寬高分別為 max(0,min(上界)−max(下界))；相離與僅觸邊交集面積零。
• 單位格按座標去重，重複列格不增加面積；答案單位為所用長度單位的平方。

符號作用域

• A — 本輪矩形面積運算
• w — 非負寬
• h — 非負高

直觀、定義與常見誤解

矩形的幾何量不是周長。兩矩形有重疊時直接相加會重算交集，必須扣回一次；相同矩形的聯集仍只有原面積。

整數半開框架可把矩形分成不重複的單位格，提供與包含排除不同的有限重算方法。空矩形及空格子聯集面積都是零。

本輪只建立矩形與有限格子的候選模型，不宣稱一般曲面、可測集、積分或面積存在性已驗證。共同平移或交換兩矩形只是同一計算的表示變動。

聯集直接相加、把重複格子重算，或把零寬矩形當有面積。

已採用的推導導讀

原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。

前置知識

• 歐幾里得長度 — 固定長度單位及正交框架。
• 四則運算 — 精確長乘寬與加減。
• 座標平面 — 矩形端點和單位格位置。
• 集合運算 — 聯集、交集及表示去重。

驗證界線

有限矩形／格子面積可精確重算；一般 Lebesgue 面積及積分橋未新增形式 Evidence。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。

下一個義務

在固定版橋接二維 box volume、空邊界與有限聯集；先維持本輪受限模型。

同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。