含初值邊界項的Fibonacci型OGF

目標與範圍

在證明收斂的域內從遞迴推出OGF。

ordinary analytic OGF；不把formal identity任意代值。

已知條件與符號

• work

• G1 — a0=0、a1=1，所有n≥2有a_n=a_(n-1)+a_(n-2)；A(x)=sum_(n=0)^infinity a_n x^n。只在|x|<1/2推analytic等式。

• A(x) — a_n的ordinary生成函數
• [x^n]A — 係數a_n

規則與來源

• mko_definition · cited — coefficient extraction [x^n]A=a_n是編碼責任。有限partial sum只使用明示prefix。對a_n=r^n，A(x)=1/(1-rx)僅在|rx|<1成立。對a_n=a_{n-1}+a_{n-2}且初值a_0,a_1明示，A(x)=(a_0+(a_1-a_0)x)/(1-x-x^2)，boundary terms不可遺漏。formal power-series identity不自動是analytic equality；不得在radius外代值，有限coefficient prefix不決定完整OGF或radius，名稱中的analytic也不授權未證的逐項微分。 · mko-analytic-ordinary-generating-function
• work · prerequisite — 數學歸納、幾何級數收斂與比較、absolute convergent series的index shift及有限線性組合；不假設OGF答案或逐項微分。

逐步主鏈

a_0=0\le2^0,\quad a_1=1\le2^1

a_{n-1}\le2^{n-1},\ a_{n-2}\le2^{n-2}\implies a_n\le3\cdot2^{n-2}\le2^n

|x|<1/2

\sum_{n=0}^{\infty}|a_nx^n|\le\sum_{n=0}^{\infty}(2|x|)^n<\infty

A(x)=a_0+a_1x+\sum_{n=2}^{\infty}a_nx^n

A(x)=x+\sum_{n=2}^{\infty}a_{n-1}x^n+\sum_{n=2}^{\infty}a_{n-2}x^n

\sum_{n=2}^{\infty}a_{n-1}x^n

x\sum_{j=1}^{\infty}a_jx^j=x(A-a_0)=xA

\sum_{n=2}^{\infty}a_{n-2}x^n

x^2\sum_{j=0}^{\infty}a_jx^j=x^2A

A=x+xA+x^2A

(1-x-x^2)A=x

|x+x^2|\le|x|+|x|^2<3/4<1

1-x-x^2\ne0,\quad A(x)=\frac{x}{1-x-x^2}

x=1/4

A(1/4)=\frac{1/4}{1-1/4-1/16}=4/11

b_n=2^n,\quad B(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(2x)^n

B(x)=1/(1-2x)\quad(|2x|<1)

局部子步與引理

本稿無局部子步。

逐步反向審查

• S09 · premise_audit · G1, S08, work — rational式在x=1給-1不等於發散級數的和。
• S08 · premise_audit · G1, S07, work — 沒有以有限partial sum冒充完整A值。
• S07 · premise_audit · G1, S06, work — 非零分母本身不代表原級數在域外收斂。
• S06 · premise_audit · G1, S05, work — 方程在已證收斂域內成立。
• S05 · premise_audit · G1, S04, work — 兩個shift的下限不同。
• S04 · premise_audit · G1, S03, work — shift先處理boundary再簡化。
• S03 · premise_audit · G1, S02, work — 不能直接把A寫成xA+x²A而漏x。
• S02 · premise_audit · G1, S01, work — 2|x|<1是明示domain責任。
• S01 · premise_audit · G1, work — 界涵蓋全部n，不從有限prefix猜radius。

錯誤控制與反例

boundary terms

兩次shift分別從j=1與j=0，保留a0差異。

analytic域

先以 2^n 的幾何比較證明級數在 |x|<1/2 域內絕對收斂，再代入該域內的 1/4。

• A=xA+x²A即可，無需初值。 → reject — 漏a1x=x，會錯得A=0。
• B(1)=-1是2^n級數和。 → reject — |2x|=2≥1，原級數項不趨零。
• 前五個係數決定全部OGF。 → reject — 可在第六項改係數而不改前五項，故須全序列遞迴。

結論與限制

|x|<1/2時A=x/(1-x-x²)，A(1/4)=4/11；未宣稱這是最大收斂域。

驗證及來源綁定

2 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

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