函數合成：受限合成的允許輸入、求值順序與不交換

目標與範圍

設 f:ℝ→ℝ，f(x)=x−3；g:[0,∞)→ℝ，g(u)=√u。(1) 求 g∘f 的允許輸入集合 D={x∈dom(f) ∣ f(x)∈dom(g)}，並證明 D=[3,∞)；(2) 依「先 f 後 g」計算 (g∘f)(7) 與 (g∘f)(4)，並說明 (g∘f)(1) 沒有定義；(3) 說明 f∘g 是 [0,∞) 上的總函數合成，並由 (f∘g)(4)=−1≠1=(g∘f)(4) 得到 g∘f≠f∘g；(4) 說明合成不是函數值的乘法。

在 MKO 的範圍內：函數及其定義域、陪域都已明示（假設 a1）；受限合成只在明示的允許集合上求值（假設 a2）。只用到主平方根的定義與實數的序。不處理一般的合成結合律、反函數或型別轉換條件；不改動 canonical MKO 或英文 edition。

已知條件與符號

• composition_def
• function_def
• set_builder
• set_extensionality
• sqrt_def
• order_basics
• numeric_evaluation

• G1 — f:ℝ→ℝ，f(x)=x−3；dom(f)=ℝ。
• G2 — g:[0,∞)→ℝ，g(u)=√u；dom(g)=[0,∞)={u∈ℝ ∣ u≥0}。
• G3 — 對定義域不同的表達式，合成的允許輸入為 D={x∈dom(f) ∣ f(x)∈dom(g)}，且對 x∈D 有 (g∘f)(x)=g(f(x))（MKO）。

• f,\ g — 給定的兩個函數
• g\circ f — 先 f 後 g 的合成，(g∘f)(x)=g(f(x))
• D — g∘f 的允許輸入集合
• \mathrm{dom}(f) — f 的定義域
• [a,\infty) — {x∈ℝ ∣ x≥a}
• \sqrt{u} — u≥0 的主平方根

規則與來源

• composition_def · prerequisite — 合成：對 f:A→B 與 g:B→C，g∘f:A→C 定義為 (g∘f)(a)=g(f(a))。
• function_def · prerequisite — 函數：f:A→B 對每個 a∈A 指定恰好一個 f(a)∈B。兩函數相等 ⇔ 定義域、對應域相同且對每個 a 都有相同值。
• set_builder · prerequisite — 集合建構式：x∈{y∈A ∣ P(y)} 當且僅當 x∈A 且 P(x)。
• set_extensionality · prerequisite — 集合相等：A=B 當且僅當 A⊆B 且 B⊆A，即兩者有相同元素。
• sqrt_def · prerequisite — 主平方根：對 a≥0，√a 是唯一滿足 b≥0 且 b²=a 的實數 b。負數在實數中沒有平方根。
• order_basics · prerequisite — 實數的序：任兩數恰有 u<v、u=v、u>v 之一；u<v 且 v<w 推出 u<w；u<v 推出 u+w<v+w；u<v 且 w>0 推出 uw<vw；u<v 且 w<0 推出 uw>vw。
• numeric_evaluation · prerequisite — 明確整數或有理數算式的精確求值；可以獨立重算。
• def_unfold · prerequisite — 展開定義：把一個已定義的詞換成它的定義內容（或反向收回），命題的真假不變。
• add_inverse · prerequisite — 加法反元素：每個 u 都有 −u，使 u+(−u)=0；u−v 定義為 u+(−v)。
• add_assoc · prerequisite — 加法結合律：(u+v)+w=u+(v+w)。
• add_zero · prerequisite — 加法單位元：u+0=u。
• square_nonneg · prerequisite — 實數平方非負：對所有實數 u，u²≥0，且 u²=0 ⇔ u=0。
• and_intro_elim · prerequisite — 合取：由 P 與 Q 得 P∧Q；由 P∧Q 可分別得 P 與 Q。
• mko_comp_def · cited — 若 f:A→B、g:B→C 為總函數，則 g∘f:A→C 由 (g∘f)(x)=g(f(x)) 定義。對不同定義域的表達式，合成允許的輸入為 {x∈dom(f):f(x)∈dom(g)}。 · mko-composition
• L_shift3 · lemma — 對實數 x：x−3≥0 ⇔ x≥3。
• L_sqrt_sq · lemma — 對實數 b≥0：√(b²)=b。

逐步主鏈

g\circ f

(g\circ f)(x)=g(f(x)),\ \ x\in D=\{x\in\mathrm{dom}(f)\mid f(x)\in\mathrm{dom}(g)\}

D=\{x\in\mathrm{dom}(f)\mid f(x)\in\mathrm{dom}(g)\}

D=\{x\in\mathbb{R}\mid x-3\geq 0\}

x-3\geq 0

x\geq 3

D=\{x\in\mathbb{R}\mid x-3\geq 0\}

D=[3,\infty)

x\in D

(g\circ f)(x)=\sqrt{x-3},\ \ g\circ f:[3,\infty)\to\mathbb{R}

x=7

f(7)=7-3=4\in\mathrm{dom}(g),\ \ 7\in D

g(4)

(g\circ f)(7)=g(4)=\sqrt{4}=\sqrt{2^2}=2

x=4

(g\circ f)(4)=g(f(4))=g(1)=\sqrt{1}=1

x=1

f(1)=-2\notin\mathrm{dom}(g),\ \text{so}\ 1\notin D\ \text{and}\ (g\circ f)(1)\ \text{is undefined}

f\circ g

\{x\in\mathrm{dom}(g)\mid g(x)\in\mathrm{dom}(f)\}=[0,\infty),\ \ (f\circ g)(x)=\sqrt{x}-3

x=4

(f\circ g)(4)=f(g(4))=f(2)=2-3=-1

(g\circ f)(4)=1,\ (f\circ g)(4)=-1

g\circ f\neq f\circ g

f(4)\cdot g(4)

f(4)\cdot g(4)=1\cdot 2=2\neq 1=(g\circ f)(4)

S04,\ S07,\ S08,\ S09,\ S12,\ S13

D=[3,\infty);\ (g\circ f)(7)=2,\ (g\circ f)(4)=1,\ 1\notin D;\ g\circ f\neq f\circ g;\ \exists x\in D:\ g(f(x))\neq f(x)g(x)

局部子步與引理

x-3\geq 0

x\geq 3

b\geq 0

\sqrt{b^2}=b

逐步反向審查

• S14 · sufficient_goal_reduction · S04, S07, S08, S09, S12, S13, and_intro_elim — 目標 G：(1) 到 (4)。足夠條件 H：所列各步成立；H⇒G 由合取引入。H 由定義、引理與精確計算正向證成，沒有把 G 當作前提。
• S13 · premise_audit · S08, numeric_evaluation — 一個輸入上的不同就足以推翻「合成等於乘積」這個一般主張。
• S12 · premise_audit · S08, S11, function_def — 推翻相等只需一個共同輸入上的不同值；不宣稱任何一對函數都不交換。
• S11 · premise_audit · S10, L_sqrt_sq, numeric_evaluation — 這次內層是 g；順序由記號 f∘g 決定：右邊的 g 先做。
• S10 · premise_audit · composition_def, G1, G2 — 需要 g 的陪域包含於 f 的定義域；這裡兩者都是 ℝ。
• S09 · premise_audit · S04, set_builder, sqrt_def — 結論只說 1 不是允許輸入；不給 (g∘f)(1) 任何值。
• S08 · premise_audit · S04, L_sqrt_sq, composition_def — 同樣先核對 f(4) 在 g 的定義域內，再套用 g。
• S07.1 · premise_audit · sqrt_def, square_nonneg — 需要 b≥0；若 b<0，例如 b=−2，√((−2)²)=2≠−2。
• S07 · premise_audit · L_sqrt_sq, S06 — 需要 2≥0；−2 也滿足 (−2)²=4，但它不是主平方根。
• S06 · premise_audit · G1, S04, numeric_evaluation — 此步只算內層並核對定義域；外層在 S07。
• S05 · premise_audit · S04, composition_def — 公式只在 D 上宣稱；不宣稱在 D 以外有值（假設 a2）。
• S04 · inverse_equivalence · S03, set_extensionality — 條件逐點等價，依外延原則集合相等。
• S03.1 · inverse_equivalence · order_basics, add_inverse — 加 3 與加 −3 互為反運算，對任何實數 x 都可做（N10）。
• S03 · inverse_equivalence · L_shift3 — 引理兩個方向都已證明。
• S02 · inverse_equivalence · set_builder, G1, G2 — 只是把定義域與規則代入，條件逐點等價，雙向成立。
• S01 · premise_audit · G3, mko_comp_def — 此步只寫出定義，不推出新事實。

錯誤控制與反例

g∘f 是先 f 後 g

MKO 指出的第一個誤解是把 g∘f 讀成先 g 後 f。在 x=4，正確的 (g∘f)(4)=g(f(4))=g(1)=1；若先 g 後 f，得到 f(g(4))=f(2)=−1，那是 (f∘g)(4)。在 x=7，正確值是 2，先 g 後 f 會得到 √7−3，連數值都完全不同。讀法：從記號的右邊往左做。

中間值必須在 g 的定義域中

MKO 指出的第二個誤解是略過中間值的定義域檢查。1∈dom(f)，但 f(1)=−2∉dom(g)，所以 1 不是 g∘f 的允許輸入；允許集合是 [3,∞) 而不是 ℝ。另一個陷阱是先化簡公式：若 k(u)=(√u)²，定義域 [0,∞)，則 k(f(x)) 看似化簡成 x−3、對所有實數都有值，但合成 k∘f 的允許輸入仍然只有 [3,∞)，因為允許集合由 f(x)∈dom(k) 決定，不由化簡後的式子決定。

合成不交換，也不是乘法

MKO 第三段指出，任意改寫為 f(g(x)) 或 f(x)g(x) 都需要額外條件。本例中 (g∘f)(4)=1、(f∘g)(4)=−1、f(4)g(4)=2，三者兩兩不同，連 g∘f 與 f∘g 的定義域也不同。

• (g∘f)(4) 的算法是先算 g(4)=2，再算 f(2)=−1 → reject — 那是 (f∘g)(4)；(g∘f)(4)=g(f(4))=g(1)=1。
• g∘f 的允許輸入是 dom(f)=ℝ → reject — 1∈ℝ 但 f(1)=−2∉dom(g)；允許集合是 [3,∞)。
• g∘f=f∘g → reject — 定義域不同，且在 4 的值是 1 與 −1。
• (g∘f)(4)=f(4)·g(4)=2 → reject — (g∘f)(4)=1；合成不是函數值的乘法。
• k(u)=(√u)²（u≥0）時，k(f(x)) 化簡為 x−3，所以 k∘f 在所有實數上都有定義 → reject — 允許輸入由 f(x)∈dom(k) 決定，仍是 [3,∞)。

結論與限制

g∘f 的允許輸入是 D=[3,∞)，(g∘f)(x)=√(x−3)；(g∘f)(7)=2、(g∘f)(4)=1，而 (g∘f)(1) 因 f(1)=−2 不在 g 的定義域而沒有定義。f∘g:[0,∞)→ℝ、(f∘g)(x)=√x−3 是總函數合成，(f∘g)(4)=−1≠1，所以 g∘f≠f∘g；f(4)g(4)=2≠1，合成也不是乘法。

• N11、N12 是整數點上的有限核對（x 從 3 到 30 與從 −30 到 2），只支持這些點；D=[3,∞) 的一般結論來自 S02 到 S04。

驗證及來源綁定

13 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

• source commit: b28a5edbd46279b1db2a3f3f48bb3f447e18899f
• adopted source SHA-256: 7475978339b2e04ee6e4e8518b063519655f472a46543961b2bfa1e7094d567b
• original source SHA-256: 95339f2c0130b538225fee6de95859d69ec9ec89bcf1a08c5079782ad73dbc7a
• Lean: NOT_RUN · independent AI: NOT_MEASURED

同源完整 JSON（含公式、AST、反控制與修訂記錄）