座標平面：判定點在哪條軸或哪個象限，並比較有序對

目標與範圍

在固定的平面直角座標系中，給定 A=(−3,2)、B=(2,−3)、B′=(6/3,−3)、C=(0,−4)、O=(0,0)、E=(−1/2,−5)。先證明兩軸只交於原點、每個點要嘛在軸上、要嘛恰在一個象限中；再逐點判定它所在的軸或象限，並判定 A 與 B、B 與 B′ 是否為同一點。

只用 MKO 的定義：固定原點、互相垂直的有向軸與各軸單位，座標是實數有序對，x 軸由 y=0、y 軸由 x=0 定義，軸外的象限由兩坐標的正負號決定。不推論距離、角度或圖形尺寸（MKO 假設 a2），也不從示意圖讀坐標；不改動 canonical MKO 或英文 edition。

已知條件與符號

• cartesian_product_def
• order_basics
• set_extensionality
• set_operations_def
• numeric_evaluation

• G1 — 平面上已固定原點、互相垂直的有向 x 軸與 y 軸及各軸單位；在這個座標系中，每個點對應一個實數有序對 (x,y)∈ℝ²，所有點都在同一座標系中比較（MKO 假設 a1、a2）。
• G2 — x 軸 𝒳={(x,y)∈ℝ² ∣ y=0}，y 軸 𝒴={(x,y)∈ℝ² ∣ x=0}；Q_I={(x,y) ∣ x>0 且 y>0}，Q_II={(x,y) ∣ x<0 且 y>0}，Q_III={(x,y) ∣ x<0 且 y<0}，Q_IV={(x,y) ∣ x>0 且 y<0}。
• G3 — A=(−3,2)、B=(2,−3)、B′=(6/3,−3)、C=(0,−4)、O=(0,0)、E=(−1/2,−5)，皆在 G1 的座標系中給出。

• (x,y) — 點的有序座標，第一坐標沿 x 軸、第二坐標沿 y 軸讀取
• \mathcal{X},\ \mathcal{Y} — x 軸 {y=0} 與 y 軸 {x=0}
• Q_{\mathrm{I}},\ Q_{\mathrm{II}},\ Q_{\mathrm{III}},\ Q_{\mathrm{IV}} — 第一、二、三、四象限
• O — 原點 (0,0)

規則與來源

• cartesian_product_def · prerequisite — 笛卡兒積：A×B 是所有有序對 (a,b)（a∈A、b∈B）的集合；(a,b)=(c,d) ⇔ a=c 且 b=d。
• order_basics · prerequisite — 實數的序：任兩數恰有 u<v、u=v、u>v 之一；u<v 且 v<w 推出 u<w；u<v 推出 u+w<v+w；u<v 且 w>0 推出 uw<vw；u<v 且 w<0 推出 uw>vw。
• set_extensionality · prerequisite — 集合相等：A=B 當且僅當 A⊆B 且 B⊆A，即兩者有相同元素。
• set_operations_def · prerequisite — 集合運算：x∈A∪B ⇔ x∈A 或 x∈B；x∈A∩B ⇔ x∈A 且 x∈B；x∈A∖B ⇔ x∈A 且 x∉B；在全集 U 中 Aᶜ=U∖A。
• numeric_evaluation · prerequisite — 明確整數或有理數算式的精確求值；可以獨立重算。
• def_intro · prerequisite — 引入定義：可為一個命題、式子或物件取名；之後名稱與被定義者可互相替換。
• set_builder · prerequisite — 集合建構式：x∈{y∈A ∣ P(y)} 當且僅當 x∈A 且 P(x)。
• case_analysis · prerequisite — 分情況論證：若 P∨Q 成立，且 P⇒R、Q⇒R 都已證，則 R 成立。所有情況必須涵蓋全部可能。
• contradiction · prerequisite — 反證法：若假設 ¬P 推出矛盾（某命題與其否定同時成立），則 P 成立。
• eq_replace · prerequisite — 等值代換：命題中的一個式子可換成與它相等的式子，命題的真假不變。
• and_intro_elim · prerequisite — 合取：由 P 與 Q 得 P∧Q；由 P∧Q 可分別得 P 與 Q。
• mko_coord_plane · cited — 在指定平面直角座標系中，點的座標是有序對 (x,y)。x 軸滿足 y=0，y 軸滿足 x=0；兩者交於 (0,0)。軸外四象限由 x、y 的符號決定。 · mko-coordinate-plane
• mko_quadrant_signs · cited — x、y 都非零時，(+,+)、(−,+)、(−,−)、(+,−) 分別為第一、二、三、四象限；軸上的點不屬於任何象限。原點同時在兩軸。 · mko-coordinate-plane
• L_classify · lemma — 對每個 (x,y)∈ℝ²：若 x=0 或 y=0，它不在任何象限；若 x≠0 且 y≠0，它恰在一個象限中。

逐步主鏈

\text{a point in the fixed coordinate system}

\text{point}\leftrightarrow(x,y)\in\mathbb{R}^2,\quad (x,y)=(x',y')\iff x=x'\land y=y'

\text{axes and quadrants}

\mathcal{X}=\{y=0\},\ \mathcal{Y}=\{x=0\},\ Q_{\mathrm{I}}=\{x>0,y>0\},\ Q_{\mathrm{II}}=\{x<0,y>0\},\ Q_{\mathrm{III}}=\{x<0,y<0\},\ Q_{\mathrm{IV}}=\{x>0,y<0\}

(x,y)\in\mathbb{R}^2

(x=0\lor y=0\Rightarrow\text{no quadrant})\ \land\ (x\neq 0\land y\neq 0\Rightarrow\text{exactly one quadrant})

\mathcal{X}\cap\mathcal{Y}

\{(0,0)\}

A=(-3,2)

A\in Q_{\mathrm{II}},\ A\notin\mathcal{X}\cup\mathcal{Y}

B=(2,-3)

B\in Q_{\mathrm{IV}},\ B\notin\mathcal{X}\cup\mathcal{Y}

(-3,2)\ \text{and}\ (2,-3)

A\neq B,\quad\text{while}\quad\{-3,2\}=\{2,-3\}

B'=\left(\tfrac{6}{3},-3\right)

B'=(2,-3)=B

C=(0,-4)

C\in\mathcal{Y},\ C\notin\mathcal{X},\ C\ \text{in no quadrant}

O=(0,0)

O\in\mathcal{X}\cap\mathcal{Y},\ O\ \text{in no quadrant}

E=\left(-\tfrac{1}{2},-5\right)

E\in Q_{\mathrm{III}},\ E\notin\mathcal{X}\cup\mathcal{Y}

A,B,B',C,O,E

A\in Q_{\mathrm{II}},\ B=B'\in Q_{\mathrm{IV}},\ E\in Q_{\mathrm{III}},\ C\in\mathcal{Y}\setminus\mathcal{X},\ O\in\mathcal{X}\cap\mathcal{Y},\ A\neq B

局部子步與引理

x=0\ \lor\ y=0

(x,y)\notin Q_{\mathrm{I}}\cup Q_{\mathrm{II}}\cup Q_{\mathrm{III}}\cup Q_{\mathrm{IV}}

x\neq 0\ \land\ y\neq 0

(x,y)\in Q_{\mathrm{I}}\cup Q_{\mathrm{II}}\cup Q_{\mathrm{III}}\cup Q_{\mathrm{IV}}

(x,y)\in Q_i\cap Q_j,\ i\neq j

\bot

(x,y)\in\mathcal{X}\cap\mathcal{Y}

(x,y)=(0,0)

(0,0)

(0,0)\in\mathcal{X}\cap\mathcal{Y}

逐步反向審查

• S12 · sufficient_goal_reduction · S05, S06, S07, S08, S09, S10, S11, and_intro_elim — 目標 G：各點的分類與兩個比較。足夠條件 H：S05 至 S11 的各別結論；H⇒G 只是合取。H 由坐標與定義正向證成，沒有把 G 當作前提。
• S11 · premise_audit · G3, S02, S03, mko_quadrant_signs — 只用坐標符號（N8、N9）。
• S10 · premise_audit · S03, S04, L_classify — 直接引用 S04 與引理，不需另外計算。
• S09 · premise_audit · S02, S03, L_classify — 需要象限定義中的嚴格不等號；C 不可被歸入第三或第四象限（N7）。
• S08 · inverse_equivalence · cartesian_product_def, numeric_evaluation — 6/3 與 2 是同一個有理數（N6），兩種寫法可雙向代換。
• S07 · premise_audit · S01, cartesian_product_def, set_extensionality — 一個坐標不同就足以推出兩點不同（N5）；反向（兩點不同推出某個指定坐標不同）不宣稱。
• S06 · premise_audit · G3, S02, S03, mko_quadrant_signs — 與 S05 相同，只用坐標符號（N3、N4）。
• S05 · premise_audit · G3, S02, S03, mko_quadrant_signs — 只需兩個坐標的符號（N1、N2）；判定不依賴任何圖。
• S04.2 · premise_audit · S04.1, set_extensionality, set_builder — 兩個方向都已證，集合相等成立。
• S04.1 · premise_audit · set_operations_def, cartesian_product_def — 只用交集與有序對的定義；反向包含在 S04.2。
• S04 · premise_audit · S02, set_extensionality — 集合相等需要兩個方向，在子步中分別證明。
• S03.3 · premise_audit · S02, order_basics, contradiction — 六對象限逐一檢查；每對都有一個坐標的符號相反，矛盾來自三一律。
• S03.2 · premise_audit · S02, order_basics, case_analysis — 分情況必須涵蓋全部可能：x、y 各兩種符號共四種，缺一不可。
• S03.1 · premise_audit · S02, order_basics, set_operations_def — 依賴象限定義中的嚴格不等號；若誤用 ≥，原點會同時落在四個「象限」中。
• S03 · premise_audit · L_classify, order_basics, S02 — 只依 S02 的定義與實數三一律；不涉及任何具體點。
• S02 · premise_audit · G2, def_intro, mko_quadrant_signs, set_builder — 此步只命名集合；嚴格不等號是定義的一部分，不能改成 ≥ 或 ≤。
• S01 · premise_audit · G1, mko_coord_plane, cartesian_product_def — 此步只固定表示方式，不推出新事實；若換了座標系，同一個點的坐標可能不同，所以後面的判定都限於 G1 的座標系。

錯誤控制與反例

軸上的點不在任何象限

MKO 指出的第一個誤解是把軸上的點或原點列入象限。象限定義用嚴格不等號（S02），所以 C=(0,−4) 雖然第二坐標為負，仍不在第三或第四象限；原點也不是第一象限的點（S03.1、S09、S10）。

有序對不可交換

MKO 指出的第二個誤解是把有序對當成無序集合。{−3,2}={2,−3}，但 (−3,2)≠(2,−3)：前者在第二象限，後者在第四象限（S07）。判定兩點是否相同要逐一比較對應坐標。

坐標是資料，不從圖上讀

B′=(6/3,−3) 與 B 寫法不同卻是同一點（S08），而 E 的坐標 −1/2 在粗略的圖上可能看起來接近 y 軸。判定只依明示的坐標值與定義；本稿也不推論兩點距離或圖形大小（MKO 假設 a2）。

• 原點 (0,0) 在第一象限，因為它的兩個坐標都 ≥0 → reject — Q_I 要求 x>0 且 y>0；0>0 不成立，原點不在任何象限。
• (−3,2)=(2,−3)，因為兩者用的是同樣兩個數 → reject — 有序對相等需要第一坐標相等，−3≠2；兩點甚至在不同象限。
• C=(0,−4) 的第二坐標為負，所以 C 在第三或第四象限 → reject — 第三、第四象限都要求 x≠0（x<0 或 x>0），而 C 的 x=0，C 在 y 軸上。
• B′=(6/3,−3) 與 B=(2,−3) 寫法不同，所以是不同的點 → reject — 6/3=2，兩個對應坐標都相等，所以 B′=B。

結論與限制

兩軸只交於原點；每個點要嘛在軸上（不在任何象限），要嘛恰在一個象限。A=(−3,2)∈Q_II，B=(2,−3)=B′∈Q_IV，E=(−1/2,−5)∈Q_III，C=(0,−4) 在 y 軸上、不在任何象限，O 在兩軸上、不在任何象限；A≠B，雖然 {−3,2}={2,−3}。

• 點與實數有序對的對應（G1）是座標系的前提，本稿不由幾何公理推導它。
• 本稿不涉及距離、角度或圖形大小；這些需要另外的語義橋（MKO formal next）。

驗證及來源綁定

9 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

• source commit: b28a5edbd46279b1db2a3f3f48bb3f447e18899f
• adopted source SHA-256: fd4a7cac8ca8a31eb2c39927c5e170926c77882e66ef91e074b8612e9fe3626b
• original source SHA-256: fd4a7cac8ca8a31eb2c39927c5e170926c77882e66ef91e074b8612e9fe3626b
• Lean: NOT_RUN · independent AI: NOT_MEASURED

同源完整 JSON（含公式、AST、反控制與修訂記錄）